Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 4550 / 4821
↖ ↑ ↗
← S 30.334954°
E 19.951172°		 ← 4 217.47 m → S 30.334954°
E 19.995117°		 →
↑
4 216.71 m
↓
↑
4 216.71 m
↓
S 30.372875°
E 19.951172°		 ← 4 215.84 m →
17 780 410 m²		 S 30.372875°
E 19.995117°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4550 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4821 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.55548095703125 y=0.58856201171875 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.55548095703125 × 213)
    floor (0.55548095703125 × 8192)
    floor (4550.5)     		tx = 4550
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.58856201171875 × 213)
    floor (0.58856201171875 × 8192)
    floor (4821.5)     		ty = 4821
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4550 / 4821 ti = "13/4550/4821"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4550/4821.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4550 ÷ 213
    4550 ÷ 8192     		x = 0.555419921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4821 ÷ 213
    4821 ÷ 8192     		y = 0.5885009765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.555419921875 × 2 - 1) × π
    0.11083984375 × 3.1415926535     		Λ = 0.34821364
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5885009765625 × 2 - 1) × π
    -0.177001953125 × 3.1415926535     		Φ = -0.556068035592651
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.34821364} λ = 0.34821364}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.556068035592651))-π/2
    2×atan(0.573459458894311)-π/2
    2×0.520675751563639-π/2
    1.04135150312728-1.57079632675     		φ = -0.52944482
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.34821364} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 19.951172°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.52944482 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -30.334954°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4550 KachelY 4821 0.34821364 -0.52944482 19.951172 -30.334954
    Oben rechts KachelX + 1 4551 KachelY 4821 0.34898063 -0.52944482 19.995117 -30.334954
    Unten links KachelX 4550 KachelY + 1 4822 0.34821364 -0.53010668 19.951172 -30.372875
    Unten rechts KachelX + 1 4551 KachelY + 1 4822 0.34898063 -0.53010668 19.995117 -30.372875
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.52944482--0.53010668) × R
    0.000661860000000014 × 6371000     		dl = 4216.71006000009m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.52944482--0.53010668) × R
    0.000661860000000014 × 6371000     		dr = 4216.71006000009m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.34821364-0.34898063) × cos(-0.52944482) × R
    0.000766990000000023 × 0.863087599531434 × 6371000     		do = 4217.47176379269m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.34821364-0.34898063) × cos(-0.53010668) × R
    0.000766990000000023 × 0.862753135308383 × 6371000     		du = 4215.837406611m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.52944482)-sin(-0.53010668))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.863087599531434-0.862753135308383)×R²
    abs(0.34898063-0.34821364)×0.0003344642230515×R²
    0.000766990000000023×0.0003344642230515×6371000²
    0.000766990000000023×0.0003344642230515×40589641000000     		ar = 17780410.458041m²