Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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10 / 455 / 281
↖ ↑ ↗
← N 62.754726°
W 20.039063°		 ← 17.896 km → N 62.754726°
W 19.687500°		 →
↑
17.945 km
↓
↑
17.945 km
↓
N 62.593341°
W 20.039063°		 ← 17.994 km →
322.031 km²		 N 62.593341°
W 19.687500°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 10 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 455 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 281 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.44482421875 y=0.27490234375 und der Vergrößerungsstufe zoom=10 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.44482421875 × 210)
    floor (0.44482421875 × 1024)
    floor (455.5)     		tx = 455
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.27490234375 × 210)
    floor (0.27490234375 × 1024)
    floor (281.5)     		ty = 281
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 10 / 455 / 281 ti = "10/455/281"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/10/455/281.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 455 ÷ 210
    455 ÷ 1024     		x = 0.4443359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 281 ÷ 210
    281 ÷ 1024     		y = 0.2744140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4443359375 × 2 - 1) × π
    -0.111328125 × 3.1415926535     		Λ = -0.34974762
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2744140625 × 2 - 1) × π
    0.451171875 × 3.1415926535     		Φ = 1.41739824796582
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34974762} λ = -0.34974762}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.41739824796582))-π/2
    2×atan(4.12637066891391)-π/2
    2×1.3330364576966-π/2
    2.6660729153932-1.57079632675     		φ = 1.09527659
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34974762} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.039063°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.09527659 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 62.754726°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 455 KachelY 281 -0.34974762 1.09527659 -20.039063 62.754726
    Oben rechts KachelX + 1 456 KachelY 281 -0.34361170 1.09527659 -19.687500 62.754726
    Unten links KachelX 455 KachelY + 1 282 -0.34974762 1.09245989 -20.039063 62.593341
    Unten rechts KachelX + 1 456 KachelY + 1 282 -0.34361170 1.09245989 -19.687500 62.593341
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.09527659-1.09245989) × R
    0.00281670000000012 × 6371000     		dl = 17945.1957000007m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.09527659-1.09245989) × R
    0.00281670000000012 × 6371000     		dr = 17945.1957000007m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34974762--0.34361170) × cos(1.09527659) × R
    0.00613591999999996 × 0.45780058353743 × 6371000     		do = 17896.3158369098m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34974762--0.34361170) × cos(1.09245989) × R
    0.00613591999999996 × 0.460302965131908 × 6371000     		du = 17994.1388038733m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.09527659)-sin(1.09245989))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.45780058353743-0.460302965131908)×R²
    abs(-0.34361170--0.34974762)×0.00250238159447796×R²
    0.00613591999999996×0.00250238159447796×6371000²
    0.00613591999999996×0.00250238159447796×40589641000000     		ar = 322030829.056116m²