Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
10 / 455 / 229
↖ ↑ ↗
← N 70.020587°
W 20.039063°		 ← 13.357 km → N 70.020587°
W 19.687500°		 →
↑
13.396 km
↓
↑
13.396 km
↓
N 69.900118°
W 20.039063°		 ← 13.434 km →
179.443 km²		 N 69.900118°
W 19.687500°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 10 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 455 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 229 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.44482421875 y=0.22412109375 und der Vergrößerungsstufe zoom=10 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.44482421875 × 210)
    floor (0.44482421875 × 1024)
    floor (455.5)     		tx = 455
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.22412109375 × 210)
    floor (0.22412109375 × 1024)
    floor (229.5)     		ty = 229
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 10 / 455 / 229 ti = "10/455/229"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/10/455/229.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 455 ÷ 210
    455 ÷ 1024     		x = 0.4443359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 229 ÷ 210
    229 ÷ 1024     		y = 0.2236328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4443359375 × 2 - 1) × π
    -0.111328125 × 3.1415926535     		Λ = -0.34974762
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2236328125 × 2 - 1) × π
    0.552734375 × 3.1415926535     		Φ = 1.73646625183691
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34974762} λ = -0.34974762}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.73646625183691))-π/2
    2×atan(5.67724597638829)-π/2
    2×1.39644305968672-π/2
    2.79288611937344-1.57079632675     		φ = 1.22208979
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34974762} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.039063°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.22208979 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.020587°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 455 KachelY 229 -0.34974762 1.22208979 -20.039063 70.020587
    Oben rechts KachelX + 1 456 KachelY 229 -0.34361170 1.22208979 -19.687500 70.020587
    Unten links KachelX 455 KachelY + 1 230 -0.34974762 1.21998720 -20.039063 69.900118
    Unten rechts KachelX + 1 456 KachelY + 1 230 -0.34361170 1.21998720 -19.687500 69.900118
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.22208979-1.21998720) × R
    0.00210259000000002 × 6371000     		dl = 13395.6008900001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.22208979-1.21998720) × R
    0.00210259000000002 × 6371000     		dr = 13395.6008900001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34974762--0.34361170) × cos(1.22208979) × R
    0.00613591999999996 × 0.341682476912264 × 6371000     		do = 13357.0330459388m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34974762--0.34361170) × cos(1.21998720) × R
    0.00613591999999996 × 0.343657766759656 × 6371000     		du = 13434.2509706195m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.22208979)-sin(1.21998720))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.341682476912264-0.343657766759656)×R²
    abs(-0.34361170--0.34974762)×0.00197528984739159×R²
    0.00613591999999996×0.00197528984739159×6371000²
    0.00613591999999996×0.00197528984739159×40589641000000     		ar = 179442740.116195m²