Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
9 / 455 / 222
↖ ↑ ↗
← N 23.241346°
E139.921875°		 ← 71.839 km → N 23.241346°
E140.625000°		 →
↑
72.012 km
↓
↑
72.012 km
↓
N 22.593726°
E139.921875°		 ← 72.184 km →
5 185.75 km²		 N 22.593726°
E140.625000°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 9 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 455 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 222 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.8896484375 y=0.4345703125 und der Vergrößerungsstufe zoom=9 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.8896484375 × 29)
    floor (0.8896484375 × 512)
    floor (455.5)     		tx = 455
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.4345703125 × 29)
    floor (0.4345703125 × 512)
    floor (222.5)     		ty = 222
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 9 / 455 / 222 ti = "9/455/222"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/9/455/222.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 455 ÷ 29
    455 ÷ 512     		x = 0.888671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 222 ÷ 29
    222 ÷ 512     		y = 0.43359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.888671875 × 2 - 1) × π
    0.77734375 × 3.1415926535     		Λ = 2.44209741
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.43359375 × 2 - 1) × π
    0.1328125 × 3.1415926535     		Φ = 0.417242774292969
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.44209741} λ = 2.44209741}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.417242774292969))-π/2
    2×atan(1.51777094397829)-π/2
    2×0.988217169433064-π/2
    1.97643433886613-1.57079632675     		φ = 0.40563801
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.44209741} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 139.921875°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.40563801 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 23.241346°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 455 KachelY 222 2.44209741 0.40563801 139.921875 23.241346
    Oben rechts KachelX + 1 456 KachelY 222 2.45436926 0.40563801 140.625000 23.241346
    Unten links KachelX 455 KachelY + 1 223 2.44209741 0.39433491 139.921875 22.593726
    Unten rechts KachelX + 1 456 KachelY + 1 223 2.45436926 0.39433491 140.625000 22.593726
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.40563801-0.39433491) × R
    0.0113031 × 6371000     		dl = 72012.0501000001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.40563801-0.39433491) × R
    0.0113031 × 6371000     		dr = 72012.0501000001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.44209741-2.45436926) × cos(0.40563801) × R
    0.0122718499999999 × 0.91885082221011 × 6371000     		do = 71839.392575836m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.44209741-2.45436926) × cos(0.39433491) × R
    0.0122718499999999 × 0.923252292281228 × 6371000     		du = 72183.5169197522m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.40563801)-sin(0.39433491))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.91885082221011-0.923252292281228)×R²
    abs(2.45436926-2.44209741)×0.00440147007111813×R²
    0.0122718499999999×0.00440147007111813×6371000²
    0.0122718499999999×0.00440147007111813×40589641000000     		ar = 5185747698.14685m²