Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 45496 / 94904
↖ ↑ ↗
← S 62.502175°
W 55.041504°		 ← 141.02 m → S 62.502175°
W 55.038757°		 →
↑
140.99 m
↓
↑
140.99 m
↓
S 62.503443°
W 55.041504°		 ← 141.01 m →
19 882 m²		 S 62.503443°
W 55.038757°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 45496 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 94904 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.347110748291016 y=0.724063873291016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.347110748291016 × 217)
    floor (0.347110748291016 × 131072)
    floor (45496.5)     		tx = 45496
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.724063873291016 × 217)
    floor (0.724063873291016 × 131072)
    floor (94904.5)     		ty = 94904
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 45496 / 94904 ti = "17/45496/94904"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/45496/94904.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 45496 ÷ 217
    45496 ÷ 131072     		x = 0.34710693359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 94904 ÷ 217
    94904 ÷ 131072     		y = 0.72406005859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.34710693359375 × 2 - 1) × π
    -0.3057861328125 × 3.1415926535     		Λ = -0.96065547
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.72406005859375 × 2 - 1) × π
    -0.4481201171875 × 3.1415926535     		Φ = -1.40781086804181
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.96065547} λ = -0.96065547}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.40781086804181))-π/2
    2×atan(0.244678330447856)-π/2
    2×0.23996379554312-π/2
    0.47992759108624-1.57079632675     		φ = -1.09086874
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.96065547} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -55.041504°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.09086874 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -62.502175°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 45496 KachelY 94904 -0.96065547 -1.09086874 -55.041504 -62.502175
    Oben rechts KachelX + 1 45497 KachelY 94904 -0.96060753 -1.09086874 -55.038757 -62.502175
    Unten links KachelX 45496 KachelY + 1 94905 -0.96065547 -1.09089087 -55.041504 -62.503443
    Unten rechts KachelX + 1 45497 KachelY + 1 94905 -0.96060753 -1.09089087 -55.038757 -62.503443
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.09086874--1.09089087) × R
    2.21300000000646e-05 × 6371000     		dl = 140.990230000412m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.09086874--1.09089087) × R
    2.21300000000646e-05 × 6371000     		dr = 140.990230000412m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.96065547--0.96060753) × cos(-1.09086874) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.461714944185561 × 6371000     		do = 141.019628496841m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.96065547--0.96060753) × cos(-1.09089087) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.46169531413491 × 6371000     		du = 141.013632974095m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.09086874)-sin(-1.09089087))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.461714944185561-0.46169531413491)×R²
    abs(-0.96060753--0.96065547)×1.96300506505875e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.96300506505875e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.96300506505875e-05×40589641000000     		ar = 19881.9672021705m²