Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 45494 / 95153
↖ ↑ ↗
← S 62.816274°
W 55.046997°		 ← 139.50 m → S 62.816274°
W 55.044251°		 →
↑
139.52 m
↓
↑
139.52 m
↓
S 62.817528°
W 55.046997°		 ← 139.50 m →
19 464 m²		 S 62.817528°
W 55.044251°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 45494 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 95153 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.347095489501953 y=0.725963592529297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.347095489501953 × 217)
    floor (0.347095489501953 × 131072)
    floor (45494.5)     		tx = 45494
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.725963592529297 × 217)
    floor (0.725963592529297 × 131072)
    floor (95153.5)     		ty = 95153
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 45494 / 95153 ti = "17/45494/95153"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/45494/95153.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 45494 ÷ 217
    45494 ÷ 131072     		x = 0.347091674804688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 95153 ÷ 217
    95153 ÷ 131072     		y = 0.725959777832031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.347091674804688 × 2 - 1) × π
    -0.305816650390625 × 3.1415926535     		Λ = -0.96075134
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.725959777832031 × 2 - 1) × π
    -0.451919555664062 × 3.1415926535     		Φ = -1.4197471560472
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.96075134} λ = -0.96075134}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.4197471560472))-π/2
    2×atan(0.241775140551563)-π/2
    2×0.237222764470334-π/2
    0.474445528940669-1.57079632675     		φ = -1.09635080
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.96075134} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -55.046997°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.09635080 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -62.816274°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 45494 KachelY 95153 -0.96075134 -1.09635080 -55.046997 -62.816274
    Oben rechts KachelX + 1 45495 KachelY 95153 -0.96070341 -1.09635080 -55.044251 -62.816274
    Unten links KachelX 45494 KachelY + 1 95154 -0.96075134 -1.09637270 -55.046997 -62.817528
    Unten rechts KachelX + 1 45495 KachelY + 1 95154 -0.96070341 -1.09637270 -55.044251 -62.817528
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.09635080--1.09637270) × R
    2.19000000001301e-05 × 6371000     		dl = 139.524900000829m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.09635080--1.09637270) × R
    2.19000000001301e-05 × 6371000     		dr = 139.524900000829m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.96075134--0.96070341) × cos(-1.09635080) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.456845287916401 × 6371000     		do = 139.503204513849m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.96075134--0.96070341) × cos(-1.09637270) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.456825806745795 × 6371000     		du = 139.497255704046m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.09635080)-sin(-1.09637270))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.456845287916401-0.456825806745795)×R²
    abs(-0.96070341--0.96075134)×1.94811706057951e-05×R²
    4.79299999999183e-05×1.94811706057951e-05×6371000²
    4.79299999999183e-05×1.94811706057951e-05×40589641000000     		ar = 19463.7556567981m²