Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 4549 / 13165
↖ ↑ ↗
← S 73.105800°
W 80.046387°		 ← 710.01 m → S 73.105800°
W 80.024414°		 →
↑
709.86 m
↓
↑
709.86 m
↓
S 73.112184°
W 80.046387°		 ← 709.75 m →
503 914 m²		 S 73.112184°
W 80.024414°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4549 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13165 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.277679443359375 y=0.803558349609375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.277679443359375 × 214)
    floor (0.277679443359375 × 16384)
    floor (4549.5)     		tx = 4549
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.803558349609375 × 214)
    floor (0.803558349609375 × 16384)
    floor (13165.5)     		ty = 13165
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 4549 / 13165 ti = "14/4549/13165"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/4549/13165.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4549 ÷ 214
    4549 ÷ 16384     		x = 0.27764892578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13165 ÷ 214
    13165 ÷ 16384     		y = 0.80352783203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.27764892578125 × 2 - 1) × π
    -0.4447021484375 × 3.1415926535     		Λ = -1.39707300
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.80352783203125 × 2 - 1) × π
    -0.6070556640625 × 3.1415926535     		Φ = -1.90712161448431
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.39707300} λ = -1.39707300}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.90712161448431))-π/2
    2×atan(0.148507233055024)-π/2
    2×0.14742971010034-π/2
    0.29485942020068-1.57079632675     		φ = -1.27593691
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.39707300} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -80.046387°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.27593691 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -73.105800°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4549 KachelY 13165 -1.39707300 -1.27593691 -80.046387 -73.105800
    Oben rechts KachelX + 1 4550 KachelY 13165 -1.39668951 -1.27593691 -80.024414 -73.105800
    Unten links KachelX 4549 KachelY + 1 13166 -1.39707300 -1.27604833 -80.046387 -73.112184
    Unten rechts KachelX + 1 4550 KachelY + 1 13166 -1.39668951 -1.27604833 -80.024414 -73.112184
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.27593691--1.27604833) × R
    0.000111420000000084 × 6371000     		dl = 709.856820000537m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.27593691--1.27604833) × R
    0.000111420000000084 × 6371000     		dr = 709.856820000537m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.39707300--1.39668951) × cos(-1.27593691) × R
    0.000383489999999931 × 0.29060533693923 × 6371000     		do = 710.011257262732m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.39707300--1.39668951) × cos(-1.27604833) × R
    0.000383489999999931 × 0.290498723687874 × 6371000     		du = 709.750778190208m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.27593691)-sin(-1.27604833))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.29060533693923-0.290498723687874)×R²
    abs(-1.39668951--1.39707300)×0.000106613251356524×R²
    0.000383489999999931×0.000106613251356524×6371000²
    0.000383489999999931×0.000106613251356524×40589641000000     		ar = 503913.882343072m²