Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 45489 / 95025
↖ ↑ ↗
← S 62.655225°
W 55.060730°		 ← 140.30 m → S 62.655225°
W 55.057983°		 →
↑
140.29 m
↓
↑
140.29 m
↓
S 62.656487°
W 55.060730°		 ← 140.29 m →
19 682 m²		 S 62.656487°
W 55.057983°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 45489 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 95025 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.347057342529297 y=0.724987030029297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.347057342529297 × 217)
    floor (0.347057342529297 × 131072)
    floor (45489.5)     		tx = 45489
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.724987030029297 × 217)
    floor (0.724987030029297 × 131072)
    floor (95025.5)     		ty = 95025
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 45489 / 95025 ti = "17/45489/95025"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/45489/95025.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 45489 ÷ 217
    45489 ÷ 131072     		x = 0.347053527832031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 95025 ÷ 217
    95025 ÷ 131072     		y = 0.724983215332031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.347053527832031 × 2 - 1) × π
    -0.305892944335938 × 3.1415926535     		Λ = -0.96099103
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.724983215332031 × 2 - 1) × π
    -0.449966430664062 × 3.1415926535     		Φ = -1.41361123289584
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.96099103} λ = -0.96099103}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.41361123289584))-π/2
    2×atan(0.243263214920108)-π/2
    2×0.238628178439388-π/2
    0.477256356878776-1.57079632675     		φ = -1.09353997
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.96099103} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -55.060730°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.09353997 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -62.655225°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 45489 KachelY 95025 -0.96099103 -1.09353997 -55.060730 -62.655225
    Oben rechts KachelX + 1 45490 KachelY 95025 -0.96094309 -1.09353997 -55.057983 -62.655225
    Unten links KachelX 45489 KachelY + 1 95026 -0.96099103 -1.09356199 -55.060730 -62.656487
    Unten rechts KachelX + 1 45490 KachelY + 1 95026 -0.96094309 -1.09356199 -55.057983 -62.656487
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.09353997--1.09356199) × R
    2.2020000000067e-05 × 6371000     		dl = 140.289420000427m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.09353997--1.09356199) × R
    2.2020000000067e-05 × 6371000     		dr = 140.289420000427m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.96099103--0.96094309) × cos(-1.09353997) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.45934384296352 × 6371000     		do = 140.295433151485m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.96099103--0.96094309) × cos(-1.09356199) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.459324283399107 × 6371000     		du = 140.28945915705m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.09353997)-sin(-1.09356199))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.45934384296352-0.459324283399107)×R²
    abs(-0.96094309--0.96099103)×1.95595644132962e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.95595644132962e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.95595644132962e-05×40589641000000     		ar = 19681.5459022196m²