Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 45487 / 95054
↖ ↑ ↗
← S 62.691789°
W 55.066223°		 ← 140.12 m → S 62.691789°
W 55.063476°		 →
↑
140.10 m
↓
↑
140.10 m
↓
S 62.693049°
W 55.066223°		 ← 140.12 m →
19 630 m²		 S 62.693049°
W 55.063476°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 45487 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 95054 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.347042083740234 y=0.725208282470703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.347042083740234 × 217)
    floor (0.347042083740234 × 131072)
    floor (45487.5)     		tx = 45487
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.725208282470703 × 217)
    floor (0.725208282470703 × 131072)
    floor (95054.5)     		ty = 95054
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 45487 / 95054 ti = "17/45487/95054"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/45487/95054.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 45487 ÷ 217
    45487 ÷ 131072     		x = 0.347038269042969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 95054 ÷ 217
    95054 ÷ 131072     		y = 0.725204467773438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.347038269042969 × 2 - 1) × π
    -0.305923461914062 × 3.1415926535     		Λ = -0.96108690
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.725204467773438 × 2 - 1) × π
    -0.450408935546875 × 3.1415926535     		Φ = -1.41500140298482
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.96108690} λ = -0.96108690}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.41500140298482))-π/2
    2×atan(0.242925272628034)-π/2
    2×0.238309092474571-π/2
    0.476618184949142-1.57079632675     		φ = -1.09417814
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.96108690} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -55.066223°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.09417814 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -62.691789°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 45487 KachelY 95054 -0.96108690 -1.09417814 -55.066223 -62.691789
    Oben rechts KachelX + 1 45488 KachelY 95054 -0.96103896 -1.09417814 -55.063476 -62.691789
    Unten links KachelX 45487 KachelY + 1 95055 -0.96108690 -1.09420013 -55.066223 -62.693049
    Unten rechts KachelX + 1 45488 KachelY + 1 95055 -0.96103896 -1.09420013 -55.063476 -62.693049
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.09417814--1.09420013) × R
    2.19900000000273e-05 × 6371000     		dl = 140.098290000174m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.09417814--1.09420013) × R
    2.19900000000273e-05 × 6371000     		dr = 140.098290000174m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.96108690--0.96103896) × cos(-1.09417814) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.458776889513106 × 6371000     		do = 140.122270974347m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.96108690--0.96103896) × cos(-1.09420013) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.458757350154731 × 6371000     		du = 140.116303151356m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.09417814)-sin(-1.09420013))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.458776889513106-0.458757350154731)×R²
    abs(-0.96103896--0.96108690)×1.95393583755643e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.95393583755643e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.95393583755643e-05×40589641000000     		ar = 19630.4725144986m²