Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 4548 / 13106
↖ ↑ ↗
← S 72.724958°
W 80.068360°		 ← 725.55 m → S 72.724958°
W 80.046387°		 →
↑
725.40 m
↓
↑
725.40 m
↓
S 72.731481°
W 80.068360°		 ← 725.29 m →
526 222 m²		 S 72.731481°
W 80.046387°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4548 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13106 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.277618408203125 y=0.799957275390625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.277618408203125 × 214)
    floor (0.277618408203125 × 16384)
    floor (4548.5)     		tx = 4548
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.799957275390625 × 214)
    floor (0.799957275390625 × 16384)
    floor (13106.5)     		ty = 13106
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 4548 / 13106 ti = "14/4548/13106"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/4548/13106.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4548 ÷ 214
    4548 ÷ 16384     		x = 0.277587890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13106 ÷ 214
    13106 ÷ 16384     		y = 0.7999267578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.277587890625 × 2 - 1) × π
    -0.44482421875 × 3.1415926535     		Λ = -1.39745650
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7999267578125 × 2 - 1) × π
    -0.599853515625 × 3.1415926535     		Φ = -1.88449539786365
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.39745650} λ = -1.39745650}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.88449539786365))-π/2
    2×atan(0.15190569203004)-π/2
    2×0.150753182046752-π/2
    0.301506364093504-1.57079632675     		φ = -1.26928996
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.39745650} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -80.068360°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.26928996 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -72.724958°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4548 KachelY 13106 -1.39745650 -1.26928996 -80.068360 -72.724958
    Oben rechts KachelX + 1 4549 KachelY 13106 -1.39707300 -1.26928996 -80.046387 -72.724958
    Unten links KachelX 4548 KachelY + 1 13107 -1.39745650 -1.26940382 -80.068360 -72.731481
    Unten rechts KachelX + 1 4549 KachelY + 1 13107 -1.39707300 -1.26940382 -80.046387 -72.731481
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.26928996--1.26940382) × R
    0.00011385999999991 × 6371000     		dl = 725.402059999427m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.26928996--1.26940382) × R
    0.00011385999999991 × 6371000     		dr = 725.402059999427m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.39745650--1.39707300) × cos(-1.26928996) × R
    0.000383500000000092 × 0.296958957993829 × 6371000     		do = 725.553437448901m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.39745650--1.39707300) × cos(-1.26940382) × R
    0.000383500000000092 × 0.296850232266029 × 6371000     		du = 725.287790215768m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.26928996)-sin(-1.26940382))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.296958957993829-0.296850232266029)×R²
    abs(-1.39707300--1.39745650)×0.00010872572780074×R²
    0.000383500000000092×0.00010872572780074×6371000²
    0.000383500000000092×0.00010872572780074×40589641000000     		ar = 526221.608208325m²