Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 45472 / 95008
↖ ↑ ↗
← S 62.633769°
W 55.107422°		 ← 140.37 m → S 62.633769°
W 55.104675°		 →
↑
140.42 m
↓
↑
140.42 m
↓
S 62.635032°
W 55.107422°		 ← 140.36 m →
19 710 m²		 S 62.635032°
W 55.104675°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 45472 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 95008 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.346927642822266 y=0.724857330322266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.346927642822266 × 217)
    floor (0.346927642822266 × 131072)
    floor (45472.5)     		tx = 45472
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.724857330322266 × 217)
    floor (0.724857330322266 × 131072)
    floor (95008.5)     		ty = 95008
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 45472 / 95008 ti = "17/45472/95008"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/45472/95008.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 45472 ÷ 217
    45472 ÷ 131072     		x = 0.346923828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 95008 ÷ 217
    95008 ÷ 131072     		y = 0.724853515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.346923828125 × 2 - 1) × π
    -0.30615234375 × 3.1415926535     		Λ = -0.96180595
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.724853515625 × 2 - 1) × π
    -0.44970703125 × 3.1415926535     		Φ = -1.41279630560229
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.96180595} λ = -0.96180595}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.41279630560229))-π/2
    2×atan(0.243461537551748)-π/2
    2×0.238815412110301-π/2
    0.477630824220602-1.57079632675     		φ = -1.09316550
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.96180595} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -55.107422°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.09316550 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -62.633769°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 45472 KachelY 95008 -0.96180595 -1.09316550 -55.107422 -62.633769
    Oben rechts KachelX + 1 45473 KachelY 95008 -0.96175802 -1.09316550 -55.104675 -62.633769
    Unten links KachelX 45472 KachelY + 1 95009 -0.96180595 -1.09318754 -55.107422 -62.635032
    Unten rechts KachelX + 1 45473 KachelY + 1 95009 -0.96175802 -1.09318754 -55.104675 -62.635032
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.09316550--1.09318754) × R
    2.20399999999454e-05 × 6371000     		dl = 140.416839999652m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.09316550--1.09318754) × R
    2.20399999999454e-05 × 6371000     		dr = 140.416839999652m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.96180595--0.96175802) × cos(-1.09316550) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.459676436924847 × 6371000     		do = 140.367729922624m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.96180595--0.96175802) × cos(-1.09318754) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.459656863387463 × 6371000     		du = 140.361752907514m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.09316550)-sin(-1.09318754))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.459676436924847-0.459656863387463)×R²
    abs(-0.96175802--0.96180595)×1.9573537383466e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.9573537383466e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.9573537383466e-05×40589641000000     		ar = 19709.5734377643m²