Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 4547 / 3537
↖ ↑ ↗
← N 80.266402°
W130.045166°		 ← 206.53 m → N 80.266402°
W130.034180°		 →
↑
206.61 m
↓
↑
206.61 m
↓
N 80.264544°
W130.045166°		 ← 206.57 m →
42 675 m²		 N 80.264544°
W130.034180°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4547 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3537 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.138778686523438 y=0.107955932617188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.138778686523438 × 215)
    floor (0.138778686523438 × 32768)
    floor (4547.5)     		tx = 4547
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.107955932617188 × 215)
    floor (0.107955932617188 × 32768)
    floor (3537.5)     		ty = 3537
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 4547 / 3537 ti = "15/4547/3537"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/4547/3537.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4547 ÷ 215
    4547 ÷ 32768     		x = 0.138763427734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3537 ÷ 215
    3537 ÷ 32768     		y = 0.107940673828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.138763427734375 × 2 - 1) × π
    -0.72247314453125 × 3.1415926535     		Λ = -2.26971632
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.107940673828125 × 2 - 1) × π
    0.78411865234375 × 3.1415926535     		Φ = 2.46338139767545
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.26971632} λ = -2.26971632}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.46338139767545))-π/2
    2×atan(11.7444571535313)-π/2
    2×1.48585465599783-π/2
    2.97170931199566-1.57079632675     		φ = 1.40091299
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.26971632} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -130.045166°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40091299 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.266402°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4547 KachelY 3537 -2.26971632 1.40091299 -130.045166 80.266402
    Oben rechts KachelX + 1 4548 KachelY 3537 -2.26952458 1.40091299 -130.034180 80.266402
    Unten links KachelX 4547 KachelY + 1 3538 -2.26971632 1.40088056 -130.045166 80.264544
    Unten rechts KachelX + 1 4548 KachelY + 1 3538 -2.26952458 1.40088056 -130.034180 80.264544
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40091299-1.40088056) × R
    3.24299999998612e-05 × 6371000     		dl = 206.611529999116m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40091299-1.40088056) × R
    3.24299999998612e-05 × 6371000     		dr = 206.611529999116m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.26971632--2.26952458) × cos(1.40091299) × R
    0.000191739999999996 × 0.169067366438137 × 6371000     		do = 206.52855945304m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.26971632--2.26952458) × cos(1.40088056) × R
    0.000191739999999996 × 0.169099329503082 × 6371000     		du = 206.567604751361m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40091299)-sin(1.40088056))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.169067366438137-0.169099329503082)×R²
    abs(-2.26952458--2.26971632)×3.19630649455449e-05×R²
    0.000191739999999996×3.19630649455449e-05×6371000²
    0.000191739999999996×3.19630649455449e-05×40589641000000     		ar = 42675.2152659641m²