Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 4547 / 13125
↖ ↑ ↗
← S 72.848502°
W 80.090332°		 ← 720.50 m → S 72.848502°
W 80.068360°		 →
↑
720.37 m
↓
↑
720.37 m
↓
S 72.854981°
W 80.090332°		 ← 720.24 m →
518 932 m²		 S 72.854981°
W 80.068360°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4547 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13125 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.277557373046875 y=0.801116943359375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.277557373046875 × 214)
    floor (0.277557373046875 × 16384)
    floor (4547.5)     		tx = 4547
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.801116943359375 × 214)
    floor (0.801116943359375 × 16384)
    floor (13125.5)     		ty = 13125
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 4547 / 13125 ti = "14/4547/13125"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/4547/13125.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4547 ÷ 214
    4547 ÷ 16384     		x = 0.27752685546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13125 ÷ 214
    13125 ÷ 16384     		y = 0.80108642578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.27752685546875 × 2 - 1) × π
    -0.4449462890625 × 3.1415926535     		Λ = -1.39783999
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.80108642578125 × 2 - 1) × π
    -0.6021728515625 × 3.1415926535     		Φ = -1.8917818066059
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.39783999} λ = -1.39783999}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.8917818066059))-π/2
    2×atan(0.150802867761067)-π/2
    2×0.149675055722365-π/2
    0.29935011144473-1.57079632675     		φ = -1.27144622
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.39783999} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -80.090332°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.27144622 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -72.848502°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4547 KachelY 13125 -1.39783999 -1.27144622 -80.090332 -72.848502
    Oben rechts KachelX + 1 4548 KachelY 13125 -1.39745650 -1.27144622 -80.068360 -72.848502
    Unten links KachelX 4547 KachelY + 1 13126 -1.39783999 -1.27155929 -80.090332 -72.854981
    Unten rechts KachelX + 1 4548 KachelY + 1 13126 -1.39745650 -1.27155929 -80.068360 -72.854981
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.27144622--1.27155929) × R
    0.000113069999999826 × 6371000     		dl = 720.368969998894m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.27144622--1.27155929) × R
    0.000113069999999826 × 6371000     		dr = 720.368969998894m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.39783999--1.39745650) × cos(-1.27144622) × R
    0.000383489999999931 × 0.294899277604045 × 6371000     		do = 720.502276602389m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.39783999--1.39745650) × cos(-1.27155929) × R
    0.000383489999999931 × 0.294791234129309 × 6371000     		du = 720.23830318695m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.27144622)-sin(-1.27155929))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.294899277604045-0.294791234129309)×R²
    abs(-1.39745650--1.39783999)×0.000108043474736474×R²
    0.000383489999999931×0.000108043474736474×6371000²
    0.000383489999999931×0.000108043474736474×40589641000000     		ar = 518932.404302633m²