Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 45463 / 95372
↖ ↑ ↗
← S 63.089787°
W 55.132141°		 ← 138.23 m → S 63.089787°
W 55.129395°		 →
↑
138.19 m
↓
↑
138.19 m
↓
S 63.091029°
W 55.132141°		 ← 138.23 m →
19 102 m²		 S 63.091029°
W 55.129395°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 45463 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 95372 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.346858978271484 y=0.727634429931641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.346858978271484 × 217)
    floor (0.346858978271484 × 131072)
    floor (45463.5)     		tx = 45463
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.727634429931641 × 217)
    floor (0.727634429931641 × 131072)
    floor (95372.5)     		ty = 95372
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 45463 / 95372 ti = "17/45463/95372"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/45463/95372.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 45463 ÷ 217
    45463 ÷ 131072     		x = 0.346855163574219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 95372 ÷ 217
    95372 ÷ 131072     		y = 0.727630615234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.346855163574219 × 2 - 1) × π
    -0.306289672851562 × 3.1415926535     		Λ = -0.96223739
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.727630615234375 × 2 - 1) × π
    -0.45526123046875 × 3.1415926535     		Φ = -1.430245337064
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.96223739} λ = -0.96223739}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.430245337064))-π/2
    2×atan(0.239250218096829)-π/2
    2×0.234835913613755-π/2
    0.46967182722751-1.57079632675     		φ = -1.10112450
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.96223739} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -55.132141°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.10112450 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.089787°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 45463 KachelY 95372 -0.96223739 -1.10112450 -55.132141 -63.089787
    Oben rechts KachelX + 1 45464 KachelY 95372 -0.96218945 -1.10112450 -55.129395 -63.089787
    Unten links KachelX 45463 KachelY + 1 95373 -0.96223739 -1.10114619 -55.132141 -63.091029
    Unten rechts KachelX + 1 45464 KachelY + 1 95373 -0.96218945 -1.10114619 -55.129395 -63.091029
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.10112450--1.10114619) × R
    2.16899999998521e-05 × 6371000     		dl = 138.186989999058m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.10112450--1.10114619) × R
    2.16899999998521e-05 × 6371000     		dr = 138.186989999058m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.96223739--0.96218945) × cos(-1.10112450) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.45259367217422 × 6371000     		do = 138.233757243038m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.96223739--0.96218945) × cos(-1.10114619) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.45257433072895 × 6371000     		du = 138.227849867804m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.10112450)-sin(-1.10114619))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.45259367217422-0.45257433072895)×R²
    abs(-0.96218945--0.96223739)×1.93414452699936e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.93414452699936e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.93414452699936e-05×40589641000000     		ar = 19101.6986690731m²