Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 45462 / 95370
↖ ↑ ↗
← S 63.087301°
W 55.134888°		 ← 138.22 m → S 63.087301°
W 55.132141°		 →
↑
138.19 m
↓
↑
138.19 m
↓
S 63.088543°
W 55.134888°		 ← 138.21 m →
19 099 m²		 S 63.088543°
W 55.132141°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 45462 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 95370 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.346851348876953 y=0.727619171142578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.346851348876953 × 217)
    floor (0.346851348876953 × 131072)
    floor (45462.5)     		tx = 45462
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.727619171142578 × 217)
    floor (0.727619171142578 × 131072)
    floor (95370.5)     		ty = 95370
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 45462 / 95370 ti = "17/45462/95370"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/45462/95370.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 45462 ÷ 217
    45462 ÷ 131072     		x = 0.346847534179688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 95370 ÷ 217
    95370 ÷ 131072     		y = 0.727615356445312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.346847534179688 × 2 - 1) × π
    -0.306304931640625 × 3.1415926535     		Λ = -0.96228532
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.727615356445312 × 2 - 1) × π
    -0.455230712890625 × 3.1415926535     		Φ = -1.43014946326476
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.96228532} λ = -0.96228532}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.43014946326476))-π/2
    2×atan(0.239273157023811)-π/2
    2×0.234857610478643-π/2
    0.469715220957285-1.57079632675     		φ = -1.10108111
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.96228532} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -55.134888°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.10108111 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.087301°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 45462 KachelY 95370 -0.96228532 -1.10108111 -55.134888 -63.087301
    Oben rechts KachelX + 1 45463 KachelY 95370 -0.96223739 -1.10108111 -55.132141 -63.087301
    Unten links KachelX 45462 KachelY + 1 95371 -0.96228532 -1.10110280 -55.134888 -63.088543
    Unten rechts KachelX + 1 45463 KachelY + 1 95371 -0.96223739 -1.10110280 -55.132141 -63.088543
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.10108111--1.10110280) × R
    2.16900000000741e-05 × 6371000     		dl = 138.186990000472m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.10108111--1.10110280) × R
    2.16900000000741e-05 × 6371000     		dr = 138.186990000472m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.96228532--0.96223739) × cos(-1.10108111) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.452632363342947 × 6371000     		do = 138.216737314184m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.96228532--0.96223739) × cos(-1.10110280) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.452613022323635 × 6371000     		du = 138.210831301265m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.10108111)-sin(-1.10110280))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.452632363342947-0.452613022323635)×R²
    abs(-0.96223739--0.96228532)×1.93410193120025e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.93410193120025e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.93410193120025e-05×40589641000000     		ar = 19099.3468308176m²