Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 45461 / 94987
↖ ↑ ↗
← S 62.607244°
W 55.137634°		 ← 140.52 m → S 62.607244°
W 55.134888°		 →
↑
140.54 m
↓
↑
140.54 m
↓
S 62.608508°
W 55.137634°		 ← 140.52 m →
19 749 m²		 S 62.608508°
W 55.134888°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 45461 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 94987 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.346843719482422 y=0.724697113037109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.346843719482422 × 217)
    floor (0.346843719482422 × 131072)
    floor (45461.5)     		tx = 45461
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.724697113037109 × 217)
    floor (0.724697113037109 × 131072)
    floor (94987.5)     		ty = 94987
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 45461 / 94987 ti = "17/45461/94987"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/45461/94987.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 45461 ÷ 217
    45461 ÷ 131072     		x = 0.346839904785156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 94987 ÷ 217
    94987 ÷ 131072     		y = 0.724693298339844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.346839904785156 × 2 - 1) × π
    -0.306320190429688 × 3.1415926535     		Λ = -0.96233326
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.724693298339844 × 2 - 1) × π
    -0.449386596679688 × 3.1415926535     		Φ = -1.41178963071027
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.96233326} λ = -0.96233326}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.41178963071027))-π/2
    2×atan(0.243706747571451)-π/2
    2×0.239046887920571-π/2
    0.478093775841142-1.57079632675     		φ = -1.09270255
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.96233326} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -55.137634°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.09270255 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -62.607244°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 45461 KachelY 94987 -0.96233326 -1.09270255 -55.137634 -62.607244
    Oben rechts KachelX + 1 45462 KachelY 94987 -0.96228532 -1.09270255 -55.134888 -62.607244
    Unten links KachelX 45461 KachelY + 1 94988 -0.96233326 -1.09272461 -55.137634 -62.608508
    Unten rechts KachelX + 1 45462 KachelY + 1 94988 -0.96228532 -1.09272461 -55.134888 -62.608508
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.09270255--1.09272461) × R
    2.20600000000459e-05 × 6371000     		dl = 140.544260000293m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.09270255--1.09272461) × R
    2.20600000000459e-05 × 6371000     		dr = 140.544260000293m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.96233326--0.96228532) × cos(-1.09270255) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.460087527280633 × 6371000     		do = 140.522573484365m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.96233326--0.96228532) × cos(-1.09272461) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.460067940677844 × 6371000     		du = 140.516591231714m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.09270255)-sin(-1.09272461))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.460087527280633-0.460067940677844)×R²
    abs(-0.96228532--0.96233326)×1.95866027893898e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.95866027893898e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.95866027893898e-05×40589641000000     		ar = 19749.2207188811m²