Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 45460 / 94988
↖ ↑ ↗
← S 62.608508°
W 55.140381°		 ← 140.52 m → S 62.608508°
W 55.137634°		 →
↑
140.48 m
↓
↑
140.48 m
↓
S 62.609772°
W 55.140381°		 ← 140.51 m →
19 739 m²		 S 62.609772°
W 55.137634°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 45460 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 94988 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.346836090087891 y=0.724704742431641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.346836090087891 × 217)
    floor (0.346836090087891 × 131072)
    floor (45460.5)     		tx = 45460
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.724704742431641 × 217)
    floor (0.724704742431641 × 131072)
    floor (94988.5)     		ty = 94988
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 45460 / 94988 ti = "17/45460/94988"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/45460/94988.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 45460 ÷ 217
    45460 ÷ 131072     		x = 0.346832275390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 94988 ÷ 217
    94988 ÷ 131072     		y = 0.724700927734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.346832275390625 × 2 - 1) × π
    -0.30633544921875 × 3.1415926535     		Λ = -0.96238120
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.724700927734375 × 2 - 1) × π
    -0.44940185546875 × 3.1415926535     		Φ = -1.41183756760989
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.96238120} λ = -0.96238120}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.41183756760989))-π/2
    2×atan(0.243695065305564)-π/2
    2×0.23903586057046-π/2
    0.478071721140921-1.57079632675     		φ = -1.09272461
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.96238120} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -55.140381°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.09272461 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -62.608508°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 45460 KachelY 94988 -0.96238120 -1.09272461 -55.140381 -62.608508
    Oben rechts KachelX + 1 45461 KachelY 94988 -0.96233326 -1.09272461 -55.137634 -62.608508
    Unten links KachelX 45460 KachelY + 1 94989 -0.96238120 -1.09274666 -55.140381 -62.609772
    Unten rechts KachelX + 1 45461 KachelY + 1 94989 -0.96233326 -1.09274666 -55.137634 -62.609772
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.09272461--1.09274666) × R
    2.20499999998847e-05 × 6371000     		dl = 140.480549999265m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.09272461--1.09274666) × R
    2.20499999998847e-05 × 6371000     		dr = 140.480549999265m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.96238120--0.96233326) × cos(-1.09272461) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.460067940677844 × 6371000     		do = 140.51659123204m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.96238120--0.96233326) × cos(-1.09274666) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.460048362730104 × 6371000     		du = 140.510611622864m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.09272461)-sin(-1.09274666))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.460067940677844-0.460048362730104)×R²
    abs(-0.96233326--0.96238120)×1.95779477397129e-05×R²
    4.79400000000796e-05×1.95779477397129e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×1.95779477397129e-05×40589641000000     		ar = 19739.428011722m²