Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 4546 / 3521
↖ ↑ ↗
← N 71.066928°
W 80.112305°		 ← 792.75 m → N 71.066928°
W 80.090332°		 →
↑
792.87 m
↓
↑
792.87 m
↓
N 71.059798°
W 80.112305°		 ← 793.04 m →
628 666 m²		 N 71.059798°
W 80.090332°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4546 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3521 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.277496337890625 y=0.214935302734375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.277496337890625 × 214)
    floor (0.277496337890625 × 16384)
    floor (4546.5)     		tx = 4546
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.214935302734375 × 214)
    floor (0.214935302734375 × 16384)
    floor (3521.5)     		ty = 3521
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 4546 / 3521 ti = "14/4546/3521"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/4546/3521.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4546 ÷ 214
    4546 ÷ 16384     		x = 0.2774658203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3521 ÷ 214
    3521 ÷ 16384     		y = 0.21490478515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.2774658203125 × 2 - 1) × π
    -0.445068359375 × 3.1415926535     		Λ = -1.39822349
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.21490478515625 × 2 - 1) × π
    0.5701904296875 × 3.1415926535     		Φ = 1.79130606500226
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.39822349} λ = -1.39822349}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.79130606500226))-π/2
    2×atan(5.9972801912782)-π/2
    2×1.4055741086014-π/2
    2.81114821720281-1.57079632675     		φ = 1.24035189
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.39822349} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -80.112305°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.24035189 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 71.066928°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4546 KachelY 3521 -1.39822349 1.24035189 -80.112305 71.066928
    Oben rechts KachelX + 1 4547 KachelY 3521 -1.39783999 1.24035189 -80.090332 71.066928
    Unten links KachelX 4546 KachelY + 1 3522 -1.39822349 1.24022744 -80.112305 71.059798
    Unten rechts KachelX + 1 4547 KachelY + 1 3522 -1.39783999 1.24022744 -80.090332 71.059798
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.24035189-1.24022744) × R
    0.000124449999999943 × 6371000     		dl = 792.870949999635m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.24035189-1.24022744) × R
    0.000124449999999943 × 6371000     		dr = 792.870949999635m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.39822349--1.39783999) × cos(1.24035189) × R
    0.00038349999999987 × 0.324463452404873 × 6371000     		do = 792.754577296332m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.39822349--1.39783999) × cos(1.24022744) × R
    0.00038349999999987 × 0.32458116692711 × 6371000     		du = 793.042186657651m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.24035189)-sin(1.24022744))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.324463452404873-0.32458116692711)×R²
    abs(-1.39783999--1.39822349)×0.000117714522236634×R²
    0.00038349999999987×0.000117714522236634×6371000²
    0.00038349999999987×0.000117714522236634×40589641000000     		ar = 628666.094183601m²