Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 4546 / 13126
↖ ↑ ↗
← S 72.854981°
W 80.112305°		 ← 720.26 m → S 72.854981°
W 80.090332°		 →
↑
720.11 m
↓
↑
720.11 m
↓
S 72.861457°
W 80.112305°		 ← 719.99 m →
518 572 m²		 S 72.861457°
W 80.090332°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4546 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13126 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.277496337890625 y=0.801177978515625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.277496337890625 × 214)
    floor (0.277496337890625 × 16384)
    floor (4546.5)     		tx = 4546
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.801177978515625 × 214)
    floor (0.801177978515625 × 16384)
    floor (13126.5)     		ty = 13126
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 4546 / 13126 ti = "14/4546/13126"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/4546/13126.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4546 ÷ 214
    4546 ÷ 16384     		x = 0.2774658203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13126 ÷ 214
    13126 ÷ 16384     		y = 0.8011474609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.2774658203125 × 2 - 1) × π
    -0.445068359375 × 3.1415926535     		Λ = -1.39822349
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.8011474609375 × 2 - 1) × π
    -0.602294921875 × 3.1415926535     		Φ = -1.89216530180286
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.39822349} λ = -1.39822349}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.89216530180286))-π/2
    2×atan(0.150745046673357)-π/2
    2×0.149618519852509-π/2
    0.299237039705018-1.57079632675     		φ = -1.27155929
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.39822349} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -80.112305°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.27155929 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -72.854981°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4546 KachelY 13126 -1.39822349 -1.27155929 -80.112305 -72.854981
    Oben rechts KachelX + 1 4547 KachelY 13126 -1.39783999 -1.27155929 -80.090332 -72.854981
    Unten links KachelX 4546 KachelY + 1 13127 -1.39822349 -1.27167232 -80.112305 -72.861457
    Unten rechts KachelX + 1 4547 KachelY + 1 13127 -1.39783999 -1.27167232 -80.090332 -72.861457
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.27155929--1.27167232) × R
    0.000113030000000069 × 6371000     		dl = 720.114130000443m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.27155929--1.27167232) × R
    0.000113030000000069 × 6371000     		dr = 720.114130000443m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.39822349--1.39783999) × cos(-1.27155929) × R
    0.00038349999999987 × 0.294791234129309 × 6371000     		do = 720.257084336362m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.39822349--1.39783999) × cos(-1.27167232) × R
    0.00038349999999987 × 0.294683225109518 × 6371000     		du = 719.993188220501m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.27155929)-sin(-1.27167232))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.294791234129309-0.294683225109518)×R²
    abs(-1.39783999--1.39822349)×0.000108009019790911×R²
    0.00038349999999987×0.000108009019790911×6371000²
    0.00038349999999987×0.000108009019790911×40589641000000     		ar = 518572.286554377m²