Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 45456 / 95088
↖ ↑ ↗
← S 62.734601°
W 55.151367°		 ← 139.89 m → S 62.734601°
W 55.148621°		 →
↑
139.91 m
↓
↑
139.91 m
↓
S 62.735859°
W 55.151367°		 ← 139.88 m →
19 571 m²		 S 62.735859°
W 55.148621°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 45456 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 95088 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.346805572509766 y=0.725467681884766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.346805572509766 × 217)
    floor (0.346805572509766 × 131072)
    floor (45456.5)     		tx = 45456
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.725467681884766 × 217)
    floor (0.725467681884766 × 131072)
    floor (95088.5)     		ty = 95088
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 45456 / 95088 ti = "17/45456/95088"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/45456/95088.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 45456 ÷ 217
    45456 ÷ 131072     		x = 0.3468017578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 95088 ÷ 217
    95088 ÷ 131072     		y = 0.7254638671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.3468017578125 × 2 - 1) × π
    -0.306396484375 × 3.1415926535     		Λ = -0.96257294
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7254638671875 × 2 - 1) × π
    -0.450927734375 × 3.1415926535     		Φ = -1.4166312575719
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.96257294} λ = -0.96257294}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.4166312575719))-π/2
    2×atan(0.242529662239402)-π/2
    2×0.237935493292082-π/2
    0.475870986584164-1.57079632675     		φ = -1.09492534
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.96257294} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -55.151367°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.09492534 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -62.734601°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 45456 KachelY 95088 -0.96257294 -1.09492534 -55.151367 -62.734601
    Oben rechts KachelX + 1 45457 KachelY 95088 -0.96252501 -1.09492534 -55.148621 -62.734601
    Unten links KachelX 45456 KachelY + 1 95089 -0.96257294 -1.09494730 -55.151367 -62.735859
    Unten rechts KachelX + 1 45457 KachelY + 1 95089 -0.96252501 -1.09494730 -55.148621 -62.735859
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.09492534--1.09494730) × R
    2.19599999999875e-05 × 6371000     		dl = 139.907159999921m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.09492534--1.09494730) × R
    2.19599999999875e-05 × 6371000     		dr = 139.907159999921m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.96257294--0.96252501) × cos(-1.09492534) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.458112835825777 × 6371000     		do = 139.890265516902m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.96257294--0.96252501) × cos(-1.09494730) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.45809331560201 × 6371000     		du = 139.884304781746m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.09492534)-sin(-1.09494730))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.458112835825777-0.45809331560201)×R²
    abs(-0.96252501--0.96257294)×1.95202237663894e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.95202237663894e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.95202237663894e-05×40589641000000     		ar = 19571.2327861431m²