Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 45455 / 95087
↖ ↑ ↗
← S 62.733343°
W 55.154114°		 ← 139.93 m → S 62.733343°
W 55.151367°		 →
↑
139.91 m
↓
↑
139.91 m
↓
S 62.734601°
W 55.154114°		 ← 139.92 m →
19 576 m²		 S 62.734601°
W 55.151367°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 45455 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 95087 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.346797943115234 y=0.725460052490234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.346797943115234 × 217)
    floor (0.346797943115234 × 131072)
    floor (45455.5)     		tx = 45455
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.725460052490234 × 217)
    floor (0.725460052490234 × 131072)
    floor (95087.5)     		ty = 95087
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 45455 / 95087 ti = "17/45455/95087"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/45455/95087.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 45455 ÷ 217
    45455 ÷ 131072     		x = 0.346794128417969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 95087 ÷ 217
    95087 ÷ 131072     		y = 0.725456237792969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.346794128417969 × 2 - 1) × π
    -0.306411743164062 × 3.1415926535     		Λ = -0.96262088
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.725456237792969 × 2 - 1) × π
    -0.450912475585938 × 3.1415926535     		Φ = -1.41658332067228
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.96262088} λ = -0.96262088}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.41658332067228))-π/2
    2×atan(0.24254128863814)-π/2
    2×0.237946473780532-π/2
    0.475892947561063-1.57079632675     		φ = -1.09490338
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.96262088} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -55.154114°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.09490338 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -62.733343°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 45455 KachelY 95087 -0.96262088 -1.09490338 -55.154114 -62.733343
    Oben rechts KachelX + 1 45456 KachelY 95087 -0.96257294 -1.09490338 -55.151367 -62.733343
    Unten links KachelX 45455 KachelY + 1 95088 -0.96262088 -1.09492534 -55.154114 -62.734601
    Unten rechts KachelX + 1 45456 KachelY + 1 95088 -0.96257294 -1.09492534 -55.151367 -62.734601
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.09490338--1.09492534) × R
    2.19599999999875e-05 × 6371000     		dl = 139.907159999921m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.09490338--1.09492534) × R
    2.19599999999875e-05 × 6371000     		dr = 139.907159999921m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.96262088--0.96257294) × cos(-1.09490338) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.458132355828622 × 6371000     		do = 139.925413796808m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.96262088--0.96257294) × cos(-1.09492534) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.458112835825777 × 6371000     		du = 139.919451885495m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.09490338)-sin(-1.09492534))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.458132355828622-0.458112835825777)×R²
    abs(-0.96257294--0.96262088)×1.95200028453302e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.95200028453302e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.95200028453302e-05×40589641000000     		ar = 19576.1501998359m²