Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 45455 / 95081
↖ ↑ ↗
← S 62.725792°
W 55.154114°		 ← 139.96 m → S 62.725792°
W 55.151367°		 →
↑
139.97 m
↓
↑
139.97 m
↓
S 62.727050°
W 55.154114°		 ← 139.96 m →
19 590 m²		 S 62.727050°
W 55.151367°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 45455 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 95081 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.346797943115234 y=0.725414276123047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.346797943115234 × 217)
    floor (0.346797943115234 × 131072)
    floor (45455.5)     		tx = 45455
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.725414276123047 × 217)
    floor (0.725414276123047 × 131072)
    floor (95081.5)     		ty = 95081
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 45455 / 95081 ti = "17/45455/95081"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/45455/95081.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 45455 ÷ 217
    45455 ÷ 131072     		x = 0.346794128417969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 95081 ÷ 217
    95081 ÷ 131072     		y = 0.725410461425781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.346794128417969 × 2 - 1) × π
    -0.306411743164062 × 3.1415926535     		Λ = -0.96262088
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.725410461425781 × 2 - 1) × π
    -0.450820922851562 × 3.1415926535     		Φ = -1.41629569927456
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.96262088} λ = -0.96262088}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.41629569927456))-π/2
    2×atan(0.242611058735789)-π/2
    2×0.238012366537481-π/2
    0.476024733074962-1.57079632675     		φ = -1.09477159
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.96262088} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -55.154114°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.09477159 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -62.725792°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 45455 KachelY 95081 -0.96262088 -1.09477159 -55.154114 -62.725792
    Oben rechts KachelX + 1 45456 KachelY 95081 -0.96257294 -1.09477159 -55.151367 -62.725792
    Unten links KachelX 45455 KachelY + 1 95082 -0.96262088 -1.09479356 -55.154114 -62.727050
    Unten rechts KachelX + 1 45456 KachelY + 1 95082 -0.96257294 -1.09479356 -55.151367 -62.727050
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.09477159--1.09479356) × R
    2.19700000001488e-05 × 6371000     		dl = 139.970870000948m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.09477159--1.09479356) × R
    2.19700000001488e-05 × 6371000     		dr = 139.970870000948m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.96262088--0.96257294) × cos(-1.09477159) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.458249497870533 × 6371000     		do = 139.961191991644m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.96262088--0.96257294) × cos(-1.09479356) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.458229970305377 × 6371000     		du = 139.955227770606m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.09477159)-sin(-1.09479356))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.458249497870533-0.458229970305377)×R²
    abs(-0.96257294--0.96262088)×1.95275651562188e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.95275651562188e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.95275651562188e-05×40589641000000     		ar = 19590.0724014829m²