Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 45453 / 95077
↖ ↑ ↗
← S 62.720757°
W 55.159607°		 ← 139.99 m → S 62.720757°
W 55.156860°		 →
↑
139.97 m
↓
↑
139.97 m
↓
S 62.722016°
W 55.159607°		 ← 139.98 m →
19 593 m²		 S 62.722016°
W 55.156860°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 45453 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 95077 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.346782684326172 y=0.725383758544922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.346782684326172 × 217)
    floor (0.346782684326172 × 131072)
    floor (45453.5)     		tx = 45453
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.725383758544922 × 217)
    floor (0.725383758544922 × 131072)
    floor (95077.5)     		ty = 95077
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 45453 / 95077 ti = "17/45453/95077"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/45453/95077.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 45453 ÷ 217
    45453 ÷ 131072     		x = 0.346778869628906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 95077 ÷ 217
    95077 ÷ 131072     		y = 0.725379943847656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.346778869628906 × 2 - 1) × π
    -0.306442260742188 × 3.1415926535     		Λ = -0.96271676
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.725379943847656 × 2 - 1) × π
    -0.450759887695312 × 3.1415926535     		Φ = -1.41610395167608
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.96271676} λ = -0.96271676}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.41610395167608))-π/2
    2×atan(0.242657583284009)-π/2
    2×0.238056304401522-π/2
    0.476112608803045-1.57079632675     		φ = -1.09468372
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.96271676} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -55.159607°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.09468372 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -62.720757°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 45453 KachelY 95077 -0.96271676 -1.09468372 -55.159607 -62.720757
    Oben rechts KachelX + 1 45454 KachelY 95077 -0.96266882 -1.09468372 -55.156860 -62.720757
    Unten links KachelX 45453 KachelY + 1 95078 -0.96271676 -1.09470569 -55.159607 -62.722016
    Unten rechts KachelX + 1 45454 KachelY + 1 95078 -0.96266882 -1.09470569 -55.156860 -62.722016
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.09468372--1.09470569) × R
    2.19700000001488e-05 × 6371000     		dl = 139.970870000948m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.09468372--1.09470569) × R
    2.19700000001488e-05 × 6371000     		dr = 139.970870000948m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.96271676--0.96266882) × cos(-1.09468372) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.458327597031347 × 6371000     		do = 139.985045485629m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.96271676--0.96266882) × cos(-1.09470569) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.4583080703509 × 6371000     		du = 139.979081534804m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.09468372)-sin(-1.09470569))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.458327597031347-0.4583080703509)×R²
    abs(-0.96266882--0.96271676)×1.95266804471905e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.95266804471905e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.95266804471905e-05×40589641000000     		ar = 19593.411214837m²