Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 45452 / 94996
↖ ↑ ↗
← S 62.618615°
W 55.162353°		 ← 140.44 m → S 62.618615°
W 55.159607°		 →
↑
140.48 m
↓
↑
140.48 m
↓
S 62.619879°
W 55.162353°		 ← 140.43 m →
19 729 m²		 S 62.619879°
W 55.159607°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 45452 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 94996 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.346775054931641 y=0.724765777587891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.346775054931641 × 217)
    floor (0.346775054931641 × 131072)
    floor (45452.5)     		tx = 45452
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.724765777587891 × 217)
    floor (0.724765777587891 × 131072)
    floor (94996.5)     		ty = 94996
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 45452 / 94996 ti = "17/45452/94996"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/45452/94996.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 45452 ÷ 217
    45452 ÷ 131072     		x = 0.346771240234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 94996 ÷ 217
    94996 ÷ 131072     		y = 0.724761962890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.346771240234375 × 2 - 1) × π
    -0.30645751953125 × 3.1415926535     		Λ = -0.96276469
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.724761962890625 × 2 - 1) × π
    -0.44952392578125 × 3.1415926535     		Φ = -1.41222106280685
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.96276469} λ = -0.96276469}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.41222106280685))-π/2
    2×atan(0.243601627336148)-π/2
    2×0.238947658664604-π/2
    0.477895317329208-1.57079632675     		φ = -1.09290101
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.96276469} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -55.162353°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.09290101 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -62.618615°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 45452 KachelY 94996 -0.96276469 -1.09290101 -55.162353 -62.618615
    Oben rechts KachelX + 1 45453 KachelY 94996 -0.96271676 -1.09290101 -55.159607 -62.618615
    Unten links KachelX 45452 KachelY + 1 94997 -0.96276469 -1.09292306 -55.162353 -62.619879
    Unten rechts KachelX + 1 45453 KachelY + 1 94997 -0.96271676 -1.09292306 -55.159607 -62.619879
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.09290101--1.09292306) × R
    2.20499999998847e-05 × 6371000     		dl = 140.480549999265m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.09290101--1.09292306) × R
    2.20499999998847e-05 × 6371000     		dr = 140.480549999265m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.96276469--0.96271676) × cos(-1.09290101) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.459911310833511 × 6371000     		do = 140.439451496168m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.96276469--0.96271676) × cos(-1.09292306) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.459891731096625 × 6371000     		du = 140.433472587965m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.09290101)-sin(-1.09292306))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.459911310833511-0.459891731096625)×R²
    abs(-0.96271676--0.96276469)×1.95797368864881e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.95797368864881e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.95797368864881e-05×40589641000000     		ar = 19728.5914282761m²