Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 4545 / 5569
↖ ↑ ↗
← N 75.669478°
W130.067139°		 ← 302.37 m → N 75.669478°
W130.056152°		 →
↑
302.37 m
↓
↑
302.37 m
↓
N 75.666759°
W130.067139°		 ← 302.43 m →
91 437 m²		 N 75.666759°
W130.056152°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4545 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5569 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.138717651367188 y=0.169967651367188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.138717651367188 × 215)
    floor (0.138717651367188 × 32768)
    floor (4545.5)     		tx = 4545
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.169967651367188 × 215)
    floor (0.169967651367188 × 32768)
    floor (5569.5)     		ty = 5569
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 4545 / 5569 ti = "15/4545/5569"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/4545/5569.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4545 ÷ 215
    4545 ÷ 32768     		x = 0.138702392578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5569 ÷ 215
    5569 ÷ 32768     		y = 0.169952392578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.138702392578125 × 2 - 1) × π
    -0.72259521484375 × 3.1415926535     		Λ = -2.27009982
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.169952392578125 × 2 - 1) × π
    0.66009521484375 × 3.1415926535     		Φ = 2.07375027756363
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.27009982} λ = -2.27009982}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.07375027756363))-π/2
    2×atan(7.9545992035782)-π/2
    2×1.44573893371617-π/2
    2.89147786743235-1.57079632675     		φ = 1.32068154
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.27009982} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -130.067139°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.32068154 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 75.669478°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4545 KachelY 5569 -2.27009982 1.32068154 -130.067139 75.669478
    Oben rechts KachelX + 1 4546 KachelY 5569 -2.26990807 1.32068154 -130.056152 75.669478
    Unten links KachelX 4545 KachelY + 1 5570 -2.27009982 1.32063408 -130.067139 75.666759
    Unten rechts KachelX + 1 4546 KachelY + 1 5570 -2.26990807 1.32063408 -130.056152 75.666759
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.32068154-1.32063408) × R
    4.74599999999992e-05 × 6371000     		dl = 302.367659999995m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.32068154-1.32063408) × R
    4.74599999999992e-05 × 6371000     		dr = 302.367659999995m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.27009982--2.26990807) × cos(1.32068154) × R
    0.000191749999999935 × 0.247515175975804 × 6371000     		do = 302.374253942597m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.27009982--2.26990807) × cos(1.32063408) × R
    0.000191749999999935 × 0.247561158932458 × 6371000     		du = 302.430428527276m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.32068154)-sin(1.32063408))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.247515175975804-0.247561158932458)×R²
    abs(-2.26990807--2.27009982)×4.59829566535619e-05×R²
    0.000191749999999935×4.59829566535619e-05×6371000²
    0.000191749999999935×4.59829566535619e-05×40589641000000     		ar = 91436.6883148284m²