Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 4545 / 13189
↖ ↑ ↗
← S 73.258376°
W 80.134277°		 ← 703.78 m → S 73.258376°
W 80.112305°		 →
↑
703.68 m
↓
↑
703.68 m
↓
S 73.264704°
W 80.134277°		 ← 703.52 m →
495 145 m²		 S 73.264704°
W 80.112305°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4545 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13189 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.277435302734375 y=0.805023193359375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.277435302734375 × 214)
    floor (0.277435302734375 × 16384)
    floor (4545.5)     		tx = 4545
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.805023193359375 × 214)
    floor (0.805023193359375 × 16384)
    floor (13189.5)     		ty = 13189
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 4545 / 13189 ti = "14/4545/13189"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/4545/13189.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4545 ÷ 214
    4545 ÷ 16384     		x = 0.27740478515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13189 ÷ 214
    13189 ÷ 16384     		y = 0.80499267578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.27740478515625 × 2 - 1) × π
    -0.4451904296875 × 3.1415926535     		Λ = -1.39860698
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.80499267578125 × 2 - 1) × π
    -0.6099853515625 × 3.1415926535     		Φ = -1.91632549921136
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.39860698} λ = -1.39860698}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.91632549921136))-π/2
    2×atan(0.147146660482079)-π/2
    2×0.14609823420002-π/2
    0.29219646840004-1.57079632675     		φ = -1.27859986
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.39860698} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -80.134277°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.27859986 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -73.258376°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4545 KachelY 13189 -1.39860698 -1.27859986 -80.134277 -73.258376
    Oben rechts KachelX + 1 4546 KachelY 13189 -1.39822349 -1.27859986 -80.112305 -73.258376
    Unten links KachelX 4545 KachelY + 1 13190 -1.39860698 -1.27871031 -80.134277 -73.264704
    Unten rechts KachelX + 1 4546 KachelY + 1 13190 -1.39822349 -1.27871031 -80.112305 -73.264704
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.27859986--1.27871031) × R
    0.000110449999999984 × 6371000     		dl = 703.676949999899m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.27859986--1.27871031) × R
    0.000110449999999984 × 6371000     		dr = 703.676949999899m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.39860698--1.39822349) × cos(-1.27859986) × R
    0.000383490000000153 × 0.288056284483258 × 6371000     		do = 703.783374602225m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.39860698--1.39822349) × cos(-1.27871031) × R
    0.000383490000000153 × 0.287950514317585 × 6371000     		du = 703.524955369111m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.27859986)-sin(-1.27871031))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.288056284483258-0.287950514317585)×R²
    abs(-1.39822349--1.39860698)×0.000105770165673202×R²
    0.000383490000000153×0.000105770165673202×6371000²
    0.000383490000000153×0.000105770165673202×40589641000000     		ar = 495145.217175393m²