Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 45449 / 95368
↖ ↑ ↗
← S 63.084814°
W 55.170593°		 ← 138.23 m → S 63.084814°
W 55.167847°		 →
↑
138.25 m
↓
↑
138.25 m
↓
S 63.086057°
W 55.170593°		 ← 138.22 m →
19 110 m²		 S 63.086057°
W 55.167847°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 45449 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 95368 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.346752166748047 y=0.727603912353516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.346752166748047 × 217)
    floor (0.346752166748047 × 131072)
    floor (45449.5)     		tx = 45449
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.727603912353516 × 217)
    floor (0.727603912353516 × 131072)
    floor (95368.5)     		ty = 95368
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 45449 / 95368 ti = "17/45449/95368"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/45449/95368.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 45449 ÷ 217
    45449 ÷ 131072     		x = 0.346748352050781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 95368 ÷ 217
    95368 ÷ 131072     		y = 0.72760009765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.346748352050781 × 2 - 1) × π
    -0.306503295898438 × 3.1415926535     		Λ = -0.96290850
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.72760009765625 × 2 - 1) × π
    -0.4552001953125 × 3.1415926535     		Φ = -1.43005358946552
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.96290850} λ = -0.96290850}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.43005358946552))-π/2
    2×atan(0.23929609815014)-π/2
    2×0.234879309198483-π/2
    0.469758618396966-1.57079632675     		φ = -1.10103771
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.96290850} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -55.170593°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.10103771 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.084814°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 45449 KachelY 95368 -0.96290850 -1.10103771 -55.170593 -63.084814
    Oben rechts KachelX + 1 45450 KachelY 95368 -0.96286057 -1.10103771 -55.167847 -63.084814
    Unten links KachelX 45449 KachelY + 1 95369 -0.96290850 -1.10105941 -55.170593 -63.086057
    Unten rechts KachelX + 1 45450 KachelY + 1 95369 -0.96286057 -1.10105941 -55.167847 -63.086057
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.10103771--1.10105941) × R
    2.17000000000134e-05 × 6371000     		dl = 138.250700000085m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.10103771--1.10105941) × R
    2.17000000000134e-05 × 6371000     		dr = 138.250700000085m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.96290850--0.96286057) × cos(-1.10103771) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.452671062576283 × 6371000     		do = 138.228554590315m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.96290850--0.96286057) × cos(-1.10105941) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.452651713066189 × 6371000     		du = 138.222645984634m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.10103771)-sin(-1.10105941))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.452671062576283-0.452651713066189)×R²
    abs(-0.96286057--0.96290850)×1.93495100931917e-05×R²
    4.79299999999183e-05×1.93495100931917e-05×6371000²
    4.79299999999183e-05×1.93495100931917e-05×40589641000000     		ar = 19109.7859982627m²