Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 45449 / 94997
↖ ↑ ↗
← S 62.619879°
W 55.170593°		 ← 140.43 m → S 62.619879°
W 55.167847°		 →
↑
140.42 m
↓
↑
140.42 m
↓
S 62.621141°
W 55.170593°		 ← 140.43 m →
19 719 m²		 S 62.621141°
W 55.167847°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 45449 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 94997 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.346752166748047 y=0.724773406982422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.346752166748047 × 217)
    floor (0.346752166748047 × 131072)
    floor (45449.5)     		tx = 45449
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.724773406982422 × 217)
    floor (0.724773406982422 × 131072)
    floor (94997.5)     		ty = 94997
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 45449 / 94997 ti = "17/45449/94997"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/45449/94997.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 45449 ÷ 217
    45449 ÷ 131072     		x = 0.346748352050781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 94997 ÷ 217
    94997 ÷ 131072     		y = 0.724769592285156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.346748352050781 × 2 - 1) × π
    -0.306503295898438 × 3.1415926535     		Λ = -0.96290850
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.724769592285156 × 2 - 1) × π
    -0.449539184570312 × 3.1415926535     		Φ = -1.41226899970647
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.96290850} λ = -0.96290850}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.41226899970647))-π/2
    2×atan(0.243589950109278)-π/2
    2×0.238936635538031-π/2
    0.477873271076063-1.57079632675     		φ = -1.09292306
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.96290850} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -55.170593°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.09292306 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -62.619879°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 45449 KachelY 94997 -0.96290850 -1.09292306 -55.170593 -62.619879
    Oben rechts KachelX + 1 45450 KachelY 94997 -0.96286057 -1.09292306 -55.167847 -62.619879
    Unten links KachelX 45449 KachelY + 1 94998 -0.96290850 -1.09294510 -55.170593 -62.621141
    Unten rechts KachelX + 1 45450 KachelY + 1 94998 -0.96286057 -1.09294510 -55.167847 -62.621141
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.09292306--1.09294510) × R
    2.20399999999454e-05 × 6371000     		dl = 140.416839999652m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.09292306--1.09294510) × R
    2.20399999999454e-05 × 6371000     		dr = 140.416839999652m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.96290850--0.96286057) × cos(-1.09292306) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.459891731096625 × 6371000     		do = 140.43347258764m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.96290850--0.96286057) × cos(-1.09294510) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.459872160015989 × 6371000     		du = 140.427496322728m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.09292306)-sin(-1.09294510))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.459891731096625-0.459872160015989)×R²
    abs(-0.96286057--0.96290850)×1.95710806357718e-05×R²
    4.79299999999183e-05×1.95710806357718e-05×6371000²
    4.79299999999183e-05×1.95710806357718e-05×40589641000000     		ar = 19718.804867745m²