Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 4544 / 6462
↖ ↑ ↗
← S 71.497037°
E 19.687500°		 ← 1 550.75 m → S 71.497037°
E 19.731445°		 →
↑
1 550.19 m
↓
↑
1 550.19 m
↓
S 71.510978°
E 19.687500°		 ← 1 549.62 m →
2 403 081 m²		 S 71.510978°
E 19.731445°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4544 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6462 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.55474853515625 y=0.78887939453125 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.55474853515625 × 213)
    floor (0.55474853515625 × 8192)
    floor (4544.5)     		tx = 4544
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.78887939453125 × 213)
    floor (0.78887939453125 × 8192)
    floor (6462.5)     		ty = 6462
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4544 / 6462 ti = "13/4544/6462"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4544/6462.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4544 ÷ 213
    4544 ÷ 8192     		x = 0.5546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6462 ÷ 213
    6462 ÷ 8192     		y = 0.788818359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5546875 × 2 - 1) × π
    0.109375 × 3.1415926535     		Λ = 0.34361170
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.788818359375 × 2 - 1) × π
    -0.57763671875 × 3.1415926535     		Φ = -1.81469927201685
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.34361170} λ = 0.34361170}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.81469927201685))-π/2
    2×atan(0.162886885670018)-π/2
    2×0.161468813734912-π/2
    0.322937627469824-1.57079632675     		φ = -1.24785870
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.34361170} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 19.687500°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.24785870 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -71.497037°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4544 KachelY 6462 0.34361170 -1.24785870 19.687500 -71.497037
    Oben rechts KachelX + 1 4545 KachelY 6462 0.34437869 -1.24785870 19.731445 -71.497037
    Unten links KachelX 4544 KachelY + 1 6463 0.34361170 -1.24810202 19.687500 -71.510978
    Unten rechts KachelX + 1 4545 KachelY + 1 6463 0.34437869 -1.24810202 19.731445 -71.510978
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.24785870--1.24810202) × R
    0.000243319999999825 × 6371000     		dl = 1550.19171999888m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.24785870--1.24810202) × R
    0.000243319999999825 × 6371000     		dr = 1550.19171999888m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.34361170-0.34437869) × cos(-1.24785870) × R
    0.000766989999999967 × 0.317353698705443 × 6371000     		do = 1550.74671928076m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.34361170-0.34437869) × cos(-1.24810202) × R
    0.000766989999999967 × 0.317122947194593 × 6371000     		du = 1549.61915357133m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.24785870)-sin(-1.24810202))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.317353698705443-0.317122947194593)×R²
    abs(0.34437869-0.34361170)×0.000230751510850835×R²
    0.000766989999999967×0.000230751510850835×6371000²
    0.000766989999999967×0.000230751510850835×40589641000000     		ar = 2403080.76438867m²