Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 4544 / 13193
↖ ↑ ↗
← S 73.283675°
W 80.156250°		 ← 702.77 m → S 73.283675°
W 80.134277°		 →
↑
702.59 m
↓
↑
702.59 m
↓
S 73.289993°
W 80.156250°		 ← 702.51 m →
493 670 m²		 S 73.289993°
W 80.134277°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4544 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13193 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.277374267578125 y=0.805267333984375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.277374267578125 × 214)
    floor (0.277374267578125 × 16384)
    floor (4544.5)     		tx = 4544
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.805267333984375 × 214)
    floor (0.805267333984375 × 16384)
    floor (13193.5)     		ty = 13193
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 4544 / 13193 ti = "14/4544/13193"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/4544/13193.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4544 ÷ 214
    4544 ÷ 16384     		x = 0.27734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13193 ÷ 214
    13193 ÷ 16384     		y = 0.80523681640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.27734375 × 2 - 1) × π
    -0.4453125 × 3.1415926535     		Λ = -1.39899048
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.80523681640625 × 2 - 1) × π
    -0.6104736328125 × 3.1415926535     		Φ = -1.91785947999921
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.39899048} λ = -1.39899048}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.91785947999921))-π/2
    2×atan(0.146921113368601)-π/2
    2×0.145877459996927-π/2
    0.291754919993854-1.57079632675     		φ = -1.27904141
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.39899048} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -80.156250°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.27904141 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -73.283675°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4544 KachelY 13193 -1.39899048 -1.27904141 -80.156250 -73.283675
    Oben rechts KachelX + 1 4545 KachelY 13193 -1.39860698 -1.27904141 -80.134277 -73.283675
    Unten links KachelX 4544 KachelY + 1 13194 -1.39899048 -1.27915169 -80.156250 -73.289993
    Unten rechts KachelX + 1 4545 KachelY + 1 13194 -1.39860698 -1.27915169 -80.134277 -73.289993
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.27904141--1.27915169) × R
    0.000110279999999907 × 6371000     		dl = 702.593879999408m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.27904141--1.27915169) × R
    0.000110279999999907 × 6371000     		dr = 702.593879999408m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.39899048--1.39860698) × cos(-1.27904141) × R
    0.00038349999999987 × 0.287633422184281 × 6371000     		do = 702.768556304038m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.39899048--1.39860698) × cos(-1.27915169) × R
    0.00038349999999987 × 0.287527800804518 × 6371000     		du = 702.510493857724m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.27904141)-sin(-1.27915169))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.287633422184281-0.287527800804518)×R²
    abs(-1.39860698--1.39899048)×0.000105621379762666×R²
    0.00038349999999987×0.000105621379762666×6371000²
    0.00038349999999987×0.000105621379762666×40589641000000     		ar = 493670.23066772m²