Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 4544 / 12851
↖ ↑ ↗
← S 70.981190°
W 80.156250°		 ← 796.21 m → S 70.981190°
W 80.134277°		 →
↑
796.06 m
↓
↑
796.06 m
↓
S 70.988349°
W 80.156250°		 ← 795.92 m →
633 715 m²		 S 70.988349°
W 80.134277°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4544 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12851 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.277374267578125 y=0.784393310546875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.277374267578125 × 214)
    floor (0.277374267578125 × 16384)
    floor (4544.5)     		tx = 4544
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.784393310546875 × 214)
    floor (0.784393310546875 × 16384)
    floor (12851.5)     		ty = 12851
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 4544 / 12851 ti = "14/4544/12851"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/4544/12851.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4544 ÷ 214
    4544 ÷ 16384     		x = 0.27734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12851 ÷ 214
    12851 ÷ 16384     		y = 0.78436279296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.27734375 × 2 - 1) × π
    -0.4453125 × 3.1415926535     		Λ = -1.39899048
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.78436279296875 × 2 - 1) × π
    -0.5687255859375 × 3.1415926535     		Φ = -1.78670412263873
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.39899048} λ = -1.39899048}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.78670412263873))-π/2
    2×atan(0.167511357735664)-π/2
    2×0.165970426249647-π/2
    0.331940852499294-1.57079632675     		φ = -1.23885547
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.39899048} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -80.156250°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.23885547 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.981190°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4544 KachelY 12851 -1.39899048 -1.23885547 -80.156250 -70.981190
    Oben rechts KachelX + 1 4545 KachelY 12851 -1.39860698 -1.23885547 -80.134277 -70.981190
    Unten links KachelX 4544 KachelY + 1 12852 -1.39899048 -1.23898042 -80.156250 -70.988349
    Unten rechts KachelX + 1 4545 KachelY + 1 12852 -1.39860698 -1.23898042 -80.134277 -70.988349
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.23885547--1.23898042) × R
    0.000124950000000013 × 6371000     		dl = 796.05645000008m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.23885547--1.23898042) × R
    0.000124950000000013 × 6371000     		dr = 796.05645000008m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.39899048--1.39860698) × cos(-1.23885547) × R
    0.00038349999999987 × 0.325878549630086 × 6371000     		do = 796.212053922103m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.39899048--1.39860698) × cos(-1.23898042) × R
    0.00038349999999987 × 0.325760417901964 × 6371000     		du = 795.923425210614m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.23885547)-sin(-1.23898042))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.325878549630086-0.325760417901964)×R²
    abs(-1.39860698--1.39899048)×0.000118131728122306×R²
    0.00038349999999987×0.000118131728122306×6371000²
    0.00038349999999987×0.000118131728122306×40589641000000     		ar = 633714.8595446m²