Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 4543 / 13200
↖ ↑ ↗
← S 73.327858°
W 80.178222°		 ← 700.95 m → S 73.327858°
W 80.156250°		 →
↑
700.81 m
↓
↑
700.81 m
↓
S 73.334161°
W 80.178222°		 ← 700.69 m →
491 139 m²		 S 73.334161°
W 80.156250°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4543 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13200 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.277313232421875 y=0.805694580078125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.277313232421875 × 214)
    floor (0.277313232421875 × 16384)
    floor (4543.5)     		tx = 4543
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.805694580078125 × 214)
    floor (0.805694580078125 × 16384)
    floor (13200.5)     		ty = 13200
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 4543 / 13200 ti = "14/4543/13200"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/4543/13200.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4543 ÷ 214
    4543 ÷ 16384     		x = 0.27728271484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13200 ÷ 214
    13200 ÷ 16384     		y = 0.8056640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.27728271484375 × 2 - 1) × π
    -0.4454345703125 × 3.1415926535     		Λ = -1.39937397
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.8056640625 × 2 - 1) × π
    -0.611328125 × 3.1415926535     		Φ = -1.92054394637793
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.39937397} λ = -1.39937397}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.92054394637793))-π/2
    2×atan(0.146527237489251)-π/2
    2×0.145491884779128-π/2
    0.290983769558256-1.57079632675     		φ = -1.27981256
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.39937397} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -80.178222°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.27981256 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -73.327858°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4543 KachelY 13200 -1.39937397 -1.27981256 -80.178222 -73.327858
    Oben rechts KachelX + 1 4544 KachelY 13200 -1.39899048 -1.27981256 -80.156250 -73.327858
    Unten links KachelX 4543 KachelY + 1 13201 -1.39937397 -1.27992256 -80.178222 -73.334161
    Unten rechts KachelX + 1 4544 KachelY + 1 13201 -1.39899048 -1.27992256 -80.156250 -73.334161
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.27981256--1.27992256) × R
    0.000109999999999832 × 6371000     		dl = 700.809999998933m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.27981256--1.27992256) × R
    0.000109999999999832 × 6371000     		dr = 700.809999998933m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.39937397--1.39899048) × cos(-1.27981256) × R
    0.000383490000000153 × 0.286894775087066 × 6371000     		do = 700.945557666722m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.39937397--1.39899048) × cos(-1.27992256) × R
    0.000383490000000153 × 0.286789397520393 × 6371000     		du = 700.688097637294m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.27981256)-sin(-1.27992256))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.286894775087066-0.286789397520393)×R²
    abs(-1.39899048--1.39937397)×0.000105377566672449×R²
    0.000383490000000153×0.000105377566672449×6371000²
    0.000383490000000153×0.000105377566672449×40589641000000     		ar = 491139.441482498m²