Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 4543 / 13199
↖ ↑ ↗
← S 73.321553°
W 80.178222°		 ← 701.20 m → S 73.321553°
W 80.156250°		 →
↑
701.13 m
↓
↑
701.13 m
↓
S 73.327858°
W 80.178222°		 ← 700.95 m →
491 543 m²		 S 73.327858°
W 80.156250°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4543 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13199 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.277313232421875 y=0.805633544921875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.277313232421875 × 214)
    floor (0.277313232421875 × 16384)
    floor (4543.5)     		tx = 4543
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.805633544921875 × 214)
    floor (0.805633544921875 × 16384)
    floor (13199.5)     		ty = 13199
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 4543 / 13199 ti = "14/4543/13199"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/4543/13199.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4543 ÷ 214
    4543 ÷ 16384     		x = 0.27728271484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13199 ÷ 214
    13199 ÷ 16384     		y = 0.80560302734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.27728271484375 × 2 - 1) × π
    -0.4454345703125 × 3.1415926535     		Λ = -1.39937397
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.80560302734375 × 2 - 1) × π
    -0.6112060546875 × 3.1415926535     		Φ = -1.92016045118097
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.39937397} λ = -1.39937397}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.92016045118097))-π/2
    2×atan(0.146583440757205)-π/2
    2×0.145546906269774-π/2
    0.291093812539548-1.57079632675     		φ = -1.27970251
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.39937397} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -80.178222°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.27970251 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -73.321553°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4543 KachelY 13199 -1.39937397 -1.27970251 -80.178222 -73.321553
    Oben rechts KachelX + 1 4544 KachelY 13199 -1.39899048 -1.27970251 -80.156250 -73.321553
    Unten links KachelX 4543 KachelY + 1 13200 -1.39937397 -1.27981256 -80.178222 -73.327858
    Unten rechts KachelX + 1 4544 KachelY + 1 13200 -1.39899048 -1.27981256 -80.156250 -73.327858
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.27970251--1.27981256) × R
    0.000110050000000195 × 6371000     		dl = 701.128550001241m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.27970251--1.27981256) × R
    0.000110050000000195 × 6371000     		dr = 701.128550001241m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.39937397--1.39899048) × cos(-1.27970251) × R
    0.000383490000000153 × 0.287000197078838 × 6371000     		do = 701.203126236212m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.39937397--1.39899048) × cos(-1.27981256) × R
    0.000383490000000153 × 0.286894775087066 × 6371000     		du = 700.945557666722m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.27970251)-sin(-1.27981256))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.287000197078838-0.286894775087066)×R²
    abs(-1.39899048--1.39937397)×0.000105421991772547×R²
    0.000383490000000153×0.000105421991772547×6371000²
    0.000383490000000153×0.000105421991772547×40589641000000     		ar = 491543.2373111m²