Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 45422 / 94994
↖ ↑ ↗
← S 62.616089°
W 55.244751°		 ← 140.48 m → S 62.616089°
W 55.242004°		 →
↑
140.48 m
↓
↑
140.48 m
↓
S 62.617352°
W 55.244751°		 ← 140.47 m →
19 734 m²		 S 62.617352°
W 55.242004°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 45422 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 94994 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.346546173095703 y=0.724750518798828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.346546173095703 × 217)
    floor (0.346546173095703 × 131072)
    floor (45422.5)     		tx = 45422
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.724750518798828 × 217)
    floor (0.724750518798828 × 131072)
    floor (94994.5)     		ty = 94994
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 45422 / 94994 ti = "17/45422/94994"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/45422/94994.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 45422 ÷ 217
    45422 ÷ 131072     		x = 0.346542358398438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 94994 ÷ 217
    94994 ÷ 131072     		y = 0.724746704101562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.346542358398438 × 2 - 1) × π
    -0.306915283203125 × 3.1415926535     		Λ = -0.96420280
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.724746704101562 × 2 - 1) × π
    -0.449493408203125 × 3.1415926535     		Φ = -1.41212518900761
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.96420280} λ = -0.96420280}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.41212518900761))-π/2
    2×atan(0.243624983469264)-π/2
    2×0.238969706325435-π/2
    0.47793941265087-1.57079632675     		φ = -1.09285691
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.96420280} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -55.244751°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.09285691 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -62.616089°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 45422 KachelY 94994 -0.96420280 -1.09285691 -55.244751 -62.616089
    Oben rechts KachelX + 1 45423 KachelY 94994 -0.96415486 -1.09285691 -55.242004 -62.616089
    Unten links KachelX 45422 KachelY + 1 94995 -0.96420280 -1.09287896 -55.244751 -62.617352
    Unten rechts KachelX + 1 45423 KachelY + 1 94995 -0.96415486 -1.09287896 -55.242004 -62.617352
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.09285691--1.09287896) × R
    2.20499999998847e-05 × 6371000     		dl = 140.480549999265m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.09285691--1.09287896) × R
    2.20499999998847e-05 × 6371000     		dr = 140.480549999265m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.96420280--0.96415486) × cos(-1.09285691) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.459950469636445 × 6371000     		do = 140.480712552292m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.96420280--0.96415486) × cos(-1.09287896) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.459930890346788 × 6371000     		du = 140.47473253326m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.09285691)-sin(-1.09287896))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.459950469636445-0.459930890346788)×R²
    abs(-0.96415486--0.96420280)×1.95792896569569e-05×R²
    4.79400000000796e-05×1.95792896569569e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×1.95792896569569e-05×40589641000000     		ar = 19734.3877260957m²