Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 45421 / 94959
↖ ↑ ↗
← S 62.571841°
W 55.247498°		 ← 140.69 m → S 62.571841°
W 55.244751°		 →
↑
140.67 m
↓
↑
140.67 m
↓
S 62.573106°
W 55.247498°		 ← 140.68 m →
19 791 m²		 S 62.573106°
W 55.244751°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 45421 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 94959 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.346538543701172 y=0.724483489990234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.346538543701172 × 217)
    floor (0.346538543701172 × 131072)
    floor (45421.5)     		tx = 45421
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.724483489990234 × 217)
    floor (0.724483489990234 × 131072)
    floor (94959.5)     		ty = 94959
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 45421 / 94959 ti = "17/45421/94959"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/45421/94959.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 45421 ÷ 217
    45421 ÷ 131072     		x = 0.346534729003906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 94959 ÷ 217
    94959 ÷ 131072     		y = 0.724479675292969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.346534729003906 × 2 - 1) × π
    -0.306930541992188 × 3.1415926535     		Λ = -0.96425074
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.724479675292969 × 2 - 1) × π
    -0.448959350585938 × 3.1415926535     		Φ = -1.41044739752091
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.96425074} λ = -0.96425074}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.41044739752091))-π/2
    2×atan(0.244034078484578)-π/2
    2×0.239355844335192-π/2
    0.478711688670383-1.57079632675     		φ = -1.09208464
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.96425074} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -55.247498°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.09208464 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -62.571841°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 45421 KachelY 94959 -0.96425074 -1.09208464 -55.247498 -62.571841
    Oben rechts KachelX + 1 45422 KachelY 94959 -0.96420280 -1.09208464 -55.244751 -62.571841
    Unten links KachelX 45421 KachelY + 1 94960 -0.96425074 -1.09210672 -55.247498 -62.573106
    Unten rechts KachelX + 1 45422 KachelY + 1 94960 -0.96420280 -1.09210672 -55.244751 -62.573106
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.09208464--1.09210672) × R
    2.20800000001464e-05 × 6371000     		dl = 140.671680000933m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.09208464--1.09210672) × R
    2.20800000001464e-05 × 6371000     		dr = 140.671680000933m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.96425074--0.96420280) × cos(-1.09208464) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.460636065366562 × 6371000     		do = 140.690111135178m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.96425074--0.96420280) × cos(-1.09210672) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.460616467286889 × 6371000     		du = 140.684125377192m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.09208464)-sin(-1.09210672))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.460636065366562-0.460616467286889)×R²
    abs(-0.96420280--0.96425074)×1.9598079672889e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.9598079672889e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.9598079672889e-05×40589641000000     		ar = 19790.6932803181m²