Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 45420 / 95393
↖ ↑ ↗
← S 63.115880°
W 55.250244°		 ← 138.08 m → S 63.115880°
W 55.247498°		 →
↑
138.12 m
↓
↑
138.12 m
↓
S 63.117122°
W 55.250244°		 ← 138.07 m →
19 072 m²		 S 63.117122°
W 55.247498°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 45420 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 95393 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.346530914306641 y=0.727794647216797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.346530914306641 × 217)
    floor (0.346530914306641 × 131072)
    floor (45420.5)     		tx = 45420
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.727794647216797 × 217)
    floor (0.727794647216797 × 131072)
    floor (95393.5)     		ty = 95393
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 45420 / 95393 ti = "17/45420/95393"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/45420/95393.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 45420 ÷ 217
    45420 ÷ 131072     		x = 0.346527099609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 95393 ÷ 217
    95393 ÷ 131072     		y = 0.727790832519531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.346527099609375 × 2 - 1) × π
    -0.30694580078125 × 3.1415926535     		Λ = -0.96429867
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.727790832519531 × 2 - 1) × π
    -0.455581665039062 × 3.1415926535     		Φ = -1.43125201195602
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.96429867} λ = -0.96429867}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.43125201195602))-π/2
    2×atan(0.2390094920961)-π/2
    2×0.234608208495606-π/2
    0.469216416991211-1.57079632675     		φ = -1.10157991
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.96429867} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -55.250244°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.10157991 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.115880°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 45420 KachelY 95393 -0.96429867 -1.10157991 -55.250244 -63.115880
    Oben rechts KachelX + 1 45421 KachelY 95393 -0.96425074 -1.10157991 -55.247498 -63.115880
    Unten links KachelX 45420 KachelY + 1 95394 -0.96429867 -1.10160159 -55.250244 -63.117122
    Unten rechts KachelX + 1 45421 KachelY + 1 95394 -0.96425074 -1.10160159 -55.247498 -63.117122
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.10157991--1.10160159) × R
    2.16799999999129e-05 × 6371000     		dl = 138.123279999445m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.10157991--1.10160159) × R
    2.16799999999129e-05 × 6371000     		dr = 138.123279999445m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.96429867--0.96425074) × cos(-1.10157991) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.452187528477048 × 6371000     		do = 138.080901636519m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.96429867--0.96425074) × cos(-1.10160159) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.452168191482557 × 6371000     		du = 138.074996852627m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.10157991)-sin(-1.10160159))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.452187528477048-0.452168191482557)×R²
    abs(-0.96425074--0.96429867)×1.93369944909705e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.93369944909705e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.93369944909705e-05×40589641000000     		ar = 19071.7792460779m²