Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 4542 / 5589
↖ ↑ ↗
← N 75.614992°
W130.100098°		 ← 303.50 m → N 75.614992°
W130.089111°		 →
↑
303.58 m
↓
↑
303.58 m
↓
N 75.612262°
W130.100098°		 ← 303.56 m →
92 144 m²		 N 75.612262°
W130.089111°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4542 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5589 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.138626098632812 y=0.170578002929688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.138626098632812 × 215)
    floor (0.138626098632812 × 32768)
    floor (4542.5)     		tx = 4542
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.170578002929688 × 215)
    floor (0.170578002929688 × 32768)
    floor (5589.5)     		ty = 5589
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 4542 / 5589 ti = "15/4542/5589"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/4542/5589.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4542 ÷ 215
    4542 ÷ 32768     		x = 0.13861083984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5589 ÷ 215
    5589 ÷ 32768     		y = 0.170562744140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.13861083984375 × 2 - 1) × π
    -0.7227783203125 × 3.1415926535     		Λ = -2.27067506
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.170562744140625 × 2 - 1) × π
    0.65887451171875 × 3.1415926535     		Φ = 2.06991532559402
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.27067506} λ = -2.27067506}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.06991532559402))-π/2
    2×atan(7.92415211656824)-π/2
    2×1.4452634465644-π/2
    2.89052689312881-1.57079632675     		φ = 1.31973057
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.27067506} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -130.100098°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.31973057 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 75.614992°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4542 KachelY 5589 -2.27067506 1.31973057 -130.100098 75.614992
    Oben rechts KachelX + 1 4543 KachelY 5589 -2.27048331 1.31973057 -130.089111 75.614992
    Unten links KachelX 4542 KachelY + 1 5590 -2.27067506 1.31968292 -130.100098 75.612262
    Unten rechts KachelX + 1 4543 KachelY + 1 5590 -2.27048331 1.31968292 -130.089111 75.612262
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.31973057-1.31968292) × R
    4.76499999999547e-05 × 6371000     		dl = 303.578149999711m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.31973057-1.31968292) × R
    4.76499999999547e-05 × 6371000     		dr = 303.578149999711m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.27067506--2.27048331) × cos(1.31973057) × R
    0.000191749999999935 × 0.248436443550799 × 6371000     		do = 303.499710571962m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.27067506--2.27048331) × cos(1.31968292) × R
    0.000191749999999935 × 0.248482599355426 × 6371000     		du = 303.55609631451m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.31973057)-sin(1.31968292))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.248436443550799-0.248482599355426)×R²
    abs(-2.27048331--2.27067506)×4.6155804626774e-05×R²
    0.000191749999999935×4.6155804626774e-05×6371000²
    0.000191749999999935×4.6155804626774e-05×40589641000000     		ar = 92144.4394174446m²