Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 4542 / 3519
↖ ↑ ↗
← N 71.081182°
W 80.200195°		 ← 792.18 m → N 71.081182°
W 80.178222°		 →
↑
792.30 m
↓
↑
792.30 m
↓
N 71.074057°
W 80.200195°		 ← 792.47 m →
627 756 m²		 N 71.074057°
W 80.178222°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4542 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3519 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.277252197265625 y=0.214813232421875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.277252197265625 × 214)
    floor (0.277252197265625 × 16384)
    floor (4542.5)     		tx = 4542
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.214813232421875 × 214)
    floor (0.214813232421875 × 16384)
    floor (3519.5)     		ty = 3519
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 4542 / 3519 ti = "14/4542/3519"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/4542/3519.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4542 ÷ 214
    4542 ÷ 16384     		x = 0.2772216796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3519 ÷ 214
    3519 ÷ 16384     		y = 0.21478271484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.2772216796875 × 2 - 1) × π
    -0.445556640625 × 3.1415926535     		Λ = -1.39975747
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.21478271484375 × 2 - 1) × π
    0.5704345703125 × 3.1415926535     		Φ = 1.79207305539618
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.39975747} λ = -1.39975747}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.79207305539618))-π/2
    2×atan(6.00188181204844)-π/2
    2×1.40569849364975-π/2
    2.81139698729949-1.57079632675     		φ = 1.24060066
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.39975747} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -80.200195°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.24060066 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 71.081182°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4542 KachelY 3519 -1.39975747 1.24060066 -80.200195 71.081182
    Oben rechts KachelX + 1 4543 KachelY 3519 -1.39937397 1.24060066 -80.178222 71.081182
    Unten links KachelX 4542 KachelY + 1 3520 -1.39975747 1.24047630 -80.200195 71.074057
    Unten rechts KachelX + 1 4543 KachelY + 1 3520 -1.39937397 1.24047630 -80.178222 71.074057
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.24060066-1.24047630) × R
    0.000124359999999824 × 6371000     		dl = 792.297559998875m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.24060066-1.24047630) × R
    0.000124359999999824 × 6371000     		dr = 792.297559998875m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.39975747--1.39937397) × cos(1.24060066) × R
    0.00038349999999987 × 0.324228131263808 × 6371000     		do = 792.179622211772m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.39975747--1.39937397) × cos(1.24047630) × R
    0.00038349999999987 × 0.324345770694955 × 6371000     		du = 792.467048104644m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.24060066)-sin(1.24047630))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.324228131263808-0.324345770694955)×R²
    abs(-1.39937397--1.39975747)×0.00011763943114651×R²
    0.00038349999999987×0.00011763943114651×6371000²
    0.00038349999999987×0.00011763943114651×40589641000000     		ar = 627755.845984447m²