Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 4542 / 13190
↖ ↑ ↗
← S 73.264704°
W 80.200195°		 ← 703.54 m → S 73.264704°
W 80.178222°		 →
↑
703.36 m
↓
↑
703.36 m
↓
S 73.271029°
W 80.200195°		 ← 703.28 m →
494 752 m²		 S 73.271029°
W 80.178222°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4542 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13190 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.277252197265625 y=0.805084228515625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.277252197265625 × 214)
    floor (0.277252197265625 × 16384)
    floor (4542.5)     		tx = 4542
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.805084228515625 × 214)
    floor (0.805084228515625 × 16384)
    floor (13190.5)     		ty = 13190
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 4542 / 13190 ti = "14/4542/13190"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/4542/13190.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4542 ÷ 214
    4542 ÷ 16384     		x = 0.2772216796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13190 ÷ 214
    13190 ÷ 16384     		y = 0.8050537109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.2772216796875 × 2 - 1) × π
    -0.445556640625 × 3.1415926535     		Λ = -1.39975747
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.8050537109375 × 2 - 1) × π
    -0.610107421875 × 3.1415926535     		Φ = -1.91670899440833
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.39975747} λ = -1.39975747}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.91670899440833))-π/2
    2×atan(0.147090241263476)-π/2
    2×0.14604301023991-π/2
    0.292086020479819-1.57079632675     		φ = -1.27871031
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.39975747} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -80.200195°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.27871031 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -73.264704°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4542 KachelY 13190 -1.39975747 -1.27871031 -80.200195 -73.264704
    Oben rechts KachelX + 1 4543 KachelY 13190 -1.39937397 -1.27871031 -80.178222 -73.264704
    Unten links KachelX 4542 KachelY + 1 13191 -1.39975747 -1.27882071 -80.200195 -73.271029
    Unten rechts KachelX + 1 4543 KachelY + 1 13191 -1.39937397 -1.27882071 -80.178222 -73.271029
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.27871031--1.27882071) × R
    0.000110400000000066 × 6371000     		dl = 703.35840000042m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.27871031--1.27882071) × R
    0.000110400000000066 × 6371000     		dr = 703.35840000042m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.39975747--1.39937397) × cos(-1.27871031) × R
    0.00038349999999987 × 0.287950514317585 × 6371000     		do = 703.54330069586m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.39975747--1.39937397) × cos(-1.27882071) × R
    0.00038349999999987 × 0.287844788522999 × 6371000     		du = 703.284983135053m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.27871031)-sin(-1.27882071))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.287950514317585-0.287844788522999)×R²
    abs(-1.39937397--1.39975747)×0.000105725794585787×R²
    0.00038349999999987×0.000105725794585787×6371000²
    0.00038349999999987×0.000105725794585787×40589641000000     		ar = 494752.245897715m²