Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 45418 / 95389
↖ ↑ ↗
← S 63.110912°
W 55.255738°		 ← 138.13 m → S 63.110912°
W 55.252991°		 →
↑
138.12 m
↓
↑
138.12 m
↓
S 63.112154°
W 55.255738°		 ← 138.13 m →
19 079 m²		 S 63.112154°
W 55.252991°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 45418 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 95389 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.346515655517578 y=0.727764129638672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.346515655517578 × 217)
    floor (0.346515655517578 × 131072)
    floor (45418.5)     		tx = 45418
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.727764129638672 × 217)
    floor (0.727764129638672 × 131072)
    floor (95389.5)     		ty = 95389
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 45418 / 95389 ti = "17/45418/95389"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/45418/95389.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 45418 ÷ 217
    45418 ÷ 131072     		x = 0.346511840820312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 95389 ÷ 217
    95389 ÷ 131072     		y = 0.727760314941406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.346511840820312 × 2 - 1) × π
    -0.306976318359375 × 3.1415926535     		Λ = -0.96439455
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.727760314941406 × 2 - 1) × π
    -0.455520629882812 × 3.1415926535     		Φ = -1.43106026435754
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.96439455} λ = -0.96439455}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.43106026435754))-π/2
    2×atan(0.239055325986352)-π/2
    2×0.234651565139301-π/2
    0.469303130278603-1.57079632675     		φ = -1.10149320
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.96439455} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -55.255738°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.10149320 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.110912°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 45418 KachelY 95389 -0.96439455 -1.10149320 -55.255738 -63.110912
    Oben rechts KachelX + 1 45419 KachelY 95389 -0.96434661 -1.10149320 -55.252991 -63.110912
    Unten links KachelX 45418 KachelY + 1 95390 -0.96439455 -1.10151488 -55.255738 -63.112154
    Unten rechts KachelX + 1 45419 KachelY + 1 95390 -0.96434661 -1.10151488 -55.252991 -63.112154
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.10149320--1.10151488) × R
    2.16800000001349e-05 × 6371000     		dl = 138.12328000086m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.10149320--1.10151488) × R
    2.16800000001349e-05 × 6371000     		dr = 138.12328000086m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.96439455--0.96434661) × cos(-1.10149320) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.452264865410702 × 6371000     		do = 138.133331193973m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.96439455--0.96434661) × cos(-1.10151488) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.45224552926632 × 6371000     		du = 138.127425437767m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.10149320)-sin(-1.10151488))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.452264865410702-0.45224552926632)×R²
    abs(-0.96434661--0.96439455)×1.93361443815987e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.93361443815987e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.93361443815987e-05×40589641000000     		ar = 19079.0209215385m²