Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 45418 / 95010
↖ ↑ ↗
← S 62.636294°
W 55.255738°		 ← 140.39 m → S 62.636294°
W 55.252991°		 →
↑
140.35 m
↓
↑
140.35 m
↓
S 62.637557°
W 55.255738°		 ← 140.38 m →
19 703 m²		 S 62.637557°
W 55.252991°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 45418 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 95010 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.346515655517578 y=0.724872589111328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.346515655517578 × 217)
    floor (0.346515655517578 × 131072)
    floor (45418.5)     		tx = 45418
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.724872589111328 × 217)
    floor (0.724872589111328 × 131072)
    floor (95010.5)     		ty = 95010
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 45418 / 95010 ti = "17/45418/95010"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/45418/95010.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 45418 ÷ 217
    45418 ÷ 131072     		x = 0.346511840820312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 95010 ÷ 217
    95010 ÷ 131072     		y = 0.724868774414062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.346511840820312 × 2 - 1) × π
    -0.306976318359375 × 3.1415926535     		Λ = -0.96439455
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.724868774414062 × 2 - 1) × π
    -0.449737548828125 × 3.1415926535     		Φ = -1.41289217940153
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.96439455} λ = -0.96439455}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.41289217940153))-π/2
    2×atan(0.243438197088061)-π/2
    2×0.238793377585273-π/2
    0.477586755170546-1.57079632675     		φ = -1.09320957
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.96439455} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -55.255738°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.09320957 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -62.636294°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 45418 KachelY 95010 -0.96439455 -1.09320957 -55.255738 -62.636294
    Oben rechts KachelX + 1 45419 KachelY 95010 -0.96434661 -1.09320957 -55.252991 -62.636294
    Unten links KachelX 45418 KachelY + 1 95011 -0.96439455 -1.09323160 -55.255738 -62.637557
    Unten rechts KachelX + 1 45419 KachelY + 1 95011 -0.96434661 -1.09323160 -55.252991 -62.637557
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.09320957--1.09323160) × R
    2.20300000000062e-05 × 6371000     		dl = 140.35313000004m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.09320957--1.09323160) × R
    2.20300000000062e-05 × 6371000     		dr = 140.35313000004m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.96439455--0.96434661) × cos(-1.09320957) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.459637298507864 × 6371000     		do = 140.385062028273m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.96439455--0.96434661) × cos(-1.09323160) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.459617733405192 × 6371000     		du = 140.379086342311m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.09320957)-sin(-1.09323160))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.459637298507864-0.459617733405192)×R²
    abs(-0.96434661--0.96439455)×1.95651026714261e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.95651026714261e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.95651026714261e-05×40589641000000     		ar = 19703.0635085365m²