Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 45416 / 94878
↖ ↑ ↗
← S 62.469184°
W 55.261230°		 ← 141.18 m → S 62.469184°
W 55.258484°		 →
↑
141.18 m
↓
↑
141.18 m
↓
S 62.470454°
W 55.261230°		 ← 141.17 m →
19 931 m²		 S 62.470454°
W 55.258484°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 45416 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 94878 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.346500396728516 y=0.723865509033203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.346500396728516 × 217)
    floor (0.346500396728516 × 131072)
    floor (45416.5)     		tx = 45416
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.723865509033203 × 217)
    floor (0.723865509033203 × 131072)
    floor (94878.5)     		ty = 94878
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 45416 / 94878 ti = "17/45416/94878"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/45416/94878.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 45416 ÷ 217
    45416 ÷ 131072     		x = 0.34649658203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 94878 ÷ 217
    94878 ÷ 131072     		y = 0.723861694335938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.34649658203125 × 2 - 1) × π
    -0.3070068359375 × 3.1415926535     		Λ = -0.96449042
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.723861694335938 × 2 - 1) × π
    -0.447723388671875 × 3.1415926535     		Φ = -1.40656450865169
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.96449042} λ = -0.96449042}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.40656450865169))-π/2
    2×atan(0.244983477704642)-π/2
    2×0.240251686017936-π/2
    0.480503372035873-1.57079632675     		φ = -1.09029295
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.96449042} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -55.261230°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.09029295 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -62.469184°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 45416 KachelY 94878 -0.96449042 -1.09029295 -55.261230 -62.469184
    Oben rechts KachelX + 1 45417 KachelY 94878 -0.96444248 -1.09029295 -55.258484 -62.469184
    Unten links KachelX 45416 KachelY + 1 94879 -0.96449042 -1.09031511 -55.261230 -62.470454
    Unten rechts KachelX + 1 45417 KachelY + 1 94879 -0.96444248 -1.09031511 -55.258484 -62.470454
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.09029295--1.09031511) × R
    2.21599999998823e-05 × 6371000     		dl = 141.18135999925m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.09029295--1.09031511) × R
    2.21599999998823e-05 × 6371000     		dr = 141.18135999925m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.96449042--0.96444248) × cos(-1.09029295) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.46222560967925 × 6371000     		do = 141.175598883143m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.96449042--0.96444248) × cos(-1.09031511) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.462205958911829 × 6371000     		du = 141.169597032963m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.09029295)-sin(-1.09031511))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.46222560967925-0.462205958911829)×R²
    abs(-0.96444248--0.96449042)×1.96507674204427e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.96507674204427e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.96507674204427e-05×40589641000000     		ar = 19930.9393752607m²