Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 45415 / 95005
↖ ↑ ↗
← S 62.629982°
W 55.263977°		 ← 140.41 m → S 62.629982°
W 55.261230°		 →
↑
140.42 m
↓
↑
140.42 m
↓
S 62.631244°
W 55.263977°		 ← 140.41 m →
19 716 m²		 S 62.631244°
W 55.261230°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 45415 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 95005 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.346492767333984 y=0.724834442138672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.346492767333984 × 217)
    floor (0.346492767333984 × 131072)
    floor (45415.5)     		tx = 45415
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.724834442138672 × 217)
    floor (0.724834442138672 × 131072)
    floor (95005.5)     		ty = 95005
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 45415 / 95005 ti = "17/45415/95005"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/45415/95005.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 45415 ÷ 217
    45415 ÷ 131072     		x = 0.346488952636719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 95005 ÷ 217
    95005 ÷ 131072     		y = 0.724830627441406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.346488952636719 × 2 - 1) × π
    -0.307022094726562 × 3.1415926535     		Λ = -0.96453836
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.724830627441406 × 2 - 1) × π
    -0.449661254882812 × 3.1415926535     		Φ = -1.41265249490343
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.96453836} λ = -0.96453836}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.41265249490343))-π/2
    2×atan(0.243496552443306)-π/2
    2×0.238848467415741-π/2
    0.477696934831482-1.57079632675     		φ = -1.09309939
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.96453836} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -55.263977°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.09309939 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -62.629982°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 45415 KachelY 95005 -0.96453836 -1.09309939 -55.263977 -62.629982
    Oben rechts KachelX + 1 45416 KachelY 95005 -0.96449042 -1.09309939 -55.261230 -62.629982
    Unten links KachelX 45415 KachelY + 1 95006 -0.96453836 -1.09312143 -55.263977 -62.631244
    Unten rechts KachelX + 1 45416 KachelY + 1 95006 -0.96449042 -1.09312143 -55.261230 -62.631244
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.09309939--1.09312143) × R
    2.20400000001675e-05 × 6371000     		dl = 140.416840001067m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.09309939--1.09312143) × R
    2.20400000001675e-05 × 6371000     		dr = 140.416840001067m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.96453836--0.96449042) × cos(-1.09309939) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.45973514731664 × 6371000     		do = 140.414947573427m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.96453836--0.96449042) × cos(-1.09312143) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.459715574449063 × 6371000     		du = 140.408969515863m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.09309939)-sin(-1.09312143))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.45973514731664-0.459715574449063)×R²
    abs(-0.96449042--0.96453836)×1.95728675769224e-05×R²
    4.79400000000796e-05×1.95728675769224e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×1.95728675769224e-05×40589641000000     		ar = 19716.2035180077m²