Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 45414 / 95006
↖ ↑ ↗
← S 62.631244°
W 55.266723°		 ← 140.38 m → S 62.631244°
W 55.263977°		 →
↑
140.42 m
↓
↑
140.42 m
↓
S 62.632507°
W 55.266723°		 ← 140.37 m →
19 711 m²		 S 62.632507°
W 55.263977°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 45414 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 95006 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.346485137939453 y=0.724842071533203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.346485137939453 × 217)
    floor (0.346485137939453 × 131072)
    floor (45414.5)     		tx = 45414
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.724842071533203 × 217)
    floor (0.724842071533203 × 131072)
    floor (95006.5)     		ty = 95006
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 45414 / 95006 ti = "17/45414/95006"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/45414/95006.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 45414 ÷ 217
    45414 ÷ 131072     		x = 0.346481323242188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 95006 ÷ 217
    95006 ÷ 131072     		y = 0.724838256835938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.346481323242188 × 2 - 1) × π
    -0.307037353515625 × 3.1415926535     		Λ = -0.96458629
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.724838256835938 × 2 - 1) × π
    -0.449676513671875 × 3.1415926535     		Φ = -1.41270043180305
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.96458629} λ = -0.96458629}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.41270043180305))-π/2
    2×atan(0.24348488025328)-π/2
    2×0.238837448511522-π/2
    0.477674897023043-1.57079632675     		φ = -1.09312143
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.96458629} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -55.266723°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.09312143 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -62.631244°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 45414 KachelY 95006 -0.96458629 -1.09312143 -55.266723 -62.631244
    Oben rechts KachelX + 1 45415 KachelY 95006 -0.96453836 -1.09312143 -55.263977 -62.631244
    Unten links KachelX 45414 KachelY + 1 95007 -0.96458629 -1.09314347 -55.266723 -62.632507
    Unten rechts KachelX + 1 45415 KachelY + 1 95007 -0.96453836 -1.09314347 -55.263977 -62.632507
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.09312143--1.09314347) × R
    2.20399999999454e-05 × 6371000     		dl = 140.416839999652m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.09312143--1.09314347) × R
    2.20399999999454e-05 × 6371000     		dr = 140.416839999652m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.96458629--0.96453836) × cos(-1.09312143) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.459715574449063 × 6371000     		do = 140.379681036143m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.96458629--0.96453836) × cos(-1.09314347) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.459696001358174 × 6371000     		du = 140.373704157375m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.09312143)-sin(-1.09314347))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.459715574449063-0.459696001358174)×R²
    abs(-0.96453836--0.96458629)×1.9573090888958e-05×R²
    4.79299999999183e-05×1.9573090888958e-05×6371000²
    4.79299999999183e-05×1.9573090888958e-05×40589641000000     		ar = 19711.2515847943m²