Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 45414 / 94877
↖ ↑ ↗
← S 62.467915°
W 55.266723°		 ← 141.15 m → S 62.467915°
W 55.263977°		 →
↑
141.12 m
↓
↑
141.12 m
↓
S 62.469184°
W 55.266723°		 ← 141.15 m →
19 919 m²		 S 62.469184°
W 55.263977°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 45414 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 94877 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.346485137939453 y=0.723857879638672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.346485137939453 × 217)
    floor (0.346485137939453 × 131072)
    floor (45414.5)     		tx = 45414
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.723857879638672 × 217)
    floor (0.723857879638672 × 131072)
    floor (94877.5)     		ty = 94877
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 45414 / 94877 ti = "17/45414/94877"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/45414/94877.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 45414 ÷ 217
    45414 ÷ 131072     		x = 0.346481323242188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 94877 ÷ 217
    94877 ÷ 131072     		y = 0.723854064941406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.346481323242188 × 2 - 1) × π
    -0.307037353515625 × 3.1415926535     		Λ = -0.96458629
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.723854064941406 × 2 - 1) × π
    -0.447708129882812 × 3.1415926535     		Φ = -1.40651657175207
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.96458629} λ = -0.96458629}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.40651657175207))-π/2
    2×atan(0.244995221734505)-π/2
    2×0.240262765084637-π/2
    0.480525530169274-1.57079632675     		φ = -1.09027080
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.96458629} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -55.266723°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.09027080 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -62.467915°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 45414 KachelY 94877 -0.96458629 -1.09027080 -55.266723 -62.467915
    Oben rechts KachelX + 1 45415 KachelY 94877 -0.96453836 -1.09027080 -55.263977 -62.467915
    Unten links KachelX 45414 KachelY + 1 94878 -0.96458629 -1.09029295 -55.266723 -62.469184
    Unten rechts KachelX + 1 45415 KachelY + 1 94878 -0.96453836 -1.09029295 -55.263977 -62.469184
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.09027080--1.09029295) × R
    2.2149999999943e-05 × 6371000     		dl = 141.117649999637m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.09027080--1.09029295) × R
    2.2149999999943e-05 × 6371000     		dr = 141.117649999637m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.96458629--0.96453836) × cos(-1.09027080) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.462245251352166 × 6371000     		do = 141.152148310517m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.96458629--0.96453836) × cos(-1.09029295) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.46222560967925 × 6371000     		du = 141.146150489403m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.09027080)-sin(-1.09029295))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.462245251352166-0.46222560967925)×R²
    abs(-0.96453836--0.96458629)×1.96416729162374e-05×R²
    4.79299999999183e-05×1.96416729162374e-05×6371000²
    4.79299999999183e-05×1.96416729162374e-05×40589641000000     		ar = 19918.6362635946m²