Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 45413 / 95380
↖ ↑ ↗
← S 63.099730°
W 55.269470°		 ← 138.19 m → S 63.099730°
W 55.266723°		 →
↑
138.19 m
↓
↑
138.19 m
↓
S 63.100972°
W 55.269470°		 ← 138.18 m →
19 095 m²		 S 63.100972°
W 55.266723°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 45413 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 95380 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.346477508544922 y=0.727695465087891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.346477508544922 × 217)
    floor (0.346477508544922 × 131072)
    floor (45413.5)     		tx = 45413
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.727695465087891 × 217)
    floor (0.727695465087891 × 131072)
    floor (95380.5)     		ty = 95380
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 45413 / 95380 ti = "17/45413/95380"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/45413/95380.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 45413 ÷ 217
    45413 ÷ 131072     		x = 0.346473693847656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 95380 ÷ 217
    95380 ÷ 131072     		y = 0.727691650390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.346473693847656 × 2 - 1) × π
    -0.307052612304688 × 3.1415926535     		Λ = -0.96463423
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.727691650390625 × 2 - 1) × π
    -0.45538330078125 × 3.1415926535     		Φ = -1.43062883226096
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.96463423} λ = -0.96463423}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.43062883226096))-π/2
    2×atan(0.239158484378162)-π/2
    2×0.234749144701381-π/2
    0.469498289402761-1.57079632675     		φ = -1.10129804
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.96463423} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -55.269470°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.10129804 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.099730°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 45413 KachelY 95380 -0.96463423 -1.10129804 -55.269470 -63.099730
    Oben rechts KachelX + 1 45414 KachelY 95380 -0.96458629 -1.10129804 -55.266723 -63.099730
    Unten links KachelX 45413 KachelY + 1 95381 -0.96463423 -1.10131973 -55.269470 -63.100972
    Unten rechts KachelX + 1 45414 KachelY + 1 95381 -0.96458629 -1.10131973 -55.266723 -63.100972
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.10129804--1.10131973) × R
    2.16899999998521e-05 × 6371000     		dl = 138.186989999058m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.10129804--1.10131973) × R
    2.16899999998521e-05 × 6371000     		dr = 138.186989999058m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.96463423--0.96458629) × cos(-1.10129804) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.452438916815002 × 6371000     		do = 138.18649097325m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.96463423--0.96458629) × cos(-1.10131973) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.45241957366646 × 6371000     		du = 138.180583077793m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.10129804)-sin(-1.10131973))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.452438916815002-0.45241957366646)×R²
    abs(-0.96458629--0.96463423)×1.93431485423501e-05×R²
    4.79400000000796e-05×1.93431485423501e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×1.93431485423501e-05×40589641000000     		ar = 19095.1670496622m²