Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 45411 / 95007
↖ ↑ ↗
← S 62.632507°
W 55.274963°		 ← 140.37 m → S 62.632507°
W 55.272217°		 →
↑
140.35 m
↓
↑
140.35 m
↓
S 62.633769°
W 55.274963°		 ← 140.37 m →
19 701 m²		 S 62.633769°
W 55.272217°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 45411 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 95007 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.346462249755859 y=0.724849700927734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.346462249755859 × 217)
    floor (0.346462249755859 × 131072)
    floor (45411.5)     		tx = 45411
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.724849700927734 × 217)
    floor (0.724849700927734 × 131072)
    floor (95007.5)     		ty = 95007
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 45411 / 95007 ti = "17/45411/95007"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/45411/95007.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 45411 ÷ 217
    45411 ÷ 131072     		x = 0.346458435058594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 95007 ÷ 217
    95007 ÷ 131072     		y = 0.724845886230469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.346458435058594 × 2 - 1) × π
    -0.307083129882812 × 3.1415926535     		Λ = -0.96473010
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.724845886230469 × 2 - 1) × π
    -0.449691772460938 × 3.1415926535     		Φ = -1.41274836870267
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.96473010} λ = -0.96473010}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.41274836870267))-π/2
    2×atan(0.24347320862277)-π/2
    2×0.23882643007638-π/2
    0.47765286015276-1.57079632675     		φ = -1.09314347
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.96473010} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -55.274963°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.09314347 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -62.632507°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 45411 KachelY 95007 -0.96473010 -1.09314347 -55.274963 -62.632507
    Oben rechts KachelX + 1 45412 KachelY 95007 -0.96468217 -1.09314347 -55.272217 -62.632507
    Unten links KachelX 45411 KachelY + 1 95008 -0.96473010 -1.09316550 -55.274963 -62.633769
    Unten rechts KachelX + 1 45412 KachelY + 1 95008 -0.96468217 -1.09316550 -55.272217 -62.633769
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.09314347--1.09316550) × R
    2.20300000000062e-05 × 6371000     		dl = 140.35313000004m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.09314347--1.09316550) × R
    2.20300000000062e-05 × 6371000     		dr = 140.35313000004m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.96473010--0.96468217) × cos(-1.09314347) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.459696001358174 × 6371000     		do = 140.373704157701m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.96473010--0.96468217) × cos(-1.09316550) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.459676436924847 × 6371000     		du = 140.367729922624m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.09314347)-sin(-1.09316550))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.459696001358174-0.459676436924847)×R²
    abs(-0.96468217--0.96473010)×1.95644333269018e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.95644333269018e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.95644333269018e-05×40589641000000     		ar = 19701.4694977155m²