Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 45411 / 94875
↖ ↑ ↗
← S 62.465376°
W 55.274963°		 ← 141.16 m → S 62.465376°
W 55.272217°		 →
↑
141.18 m
↓
↑
141.18 m
↓
S 62.466646°
W 55.274963°		 ← 141.16 m →
19 929 m²		 S 62.466646°
W 55.272217°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 45411 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 94875 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.346462249755859 y=0.723842620849609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.346462249755859 × 217)
    floor (0.346462249755859 × 131072)
    floor (45411.5)     		tx = 45411
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.723842620849609 × 217)
    floor (0.723842620849609 × 131072)
    floor (94875.5)     		ty = 94875
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 45411 / 94875 ti = "17/45411/94875"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/45411/94875.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 45411 ÷ 217
    45411 ÷ 131072     		x = 0.346458435058594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 94875 ÷ 217
    94875 ÷ 131072     		y = 0.723838806152344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.346458435058594 × 2 - 1) × π
    -0.307083129882812 × 3.1415926535     		Λ = -0.96473010
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.723838806152344 × 2 - 1) × π
    -0.447677612304688 × 3.1415926535     		Φ = -1.40642069795283
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.96473010} λ = -0.96473010}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.40642069795283))-π/2
    2×atan(0.245018711483216)-π/2
    2×0.240284924630935-π/2
    0.48056984926187-1.57079632675     		φ = -1.09022648
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.96473010} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -55.274963°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.09022648 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -62.465376°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 45411 KachelY 94875 -0.96473010 -1.09022648 -55.274963 -62.465376
    Oben rechts KachelX + 1 45412 KachelY 94875 -0.96468217 -1.09022648 -55.272217 -62.465376
    Unten links KachelX 45411 KachelY + 1 94876 -0.96473010 -1.09024864 -55.274963 -62.466646
    Unten rechts KachelX + 1 45412 KachelY + 1 94876 -0.96468217 -1.09024864 -55.272217 -62.466646
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.09022648--1.09024864) × R
    2.21599999998823e-05 × 6371000     		dl = 141.18135999925m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.09022648--1.09024864) × R
    2.21599999998823e-05 × 6371000     		dr = 141.18135999925m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.96473010--0.96468217) × cos(-1.09022648) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.462284551752258 × 6371000     		do = 141.164149160796m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.96473010--0.96468217) × cos(-1.09024864) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.462264901665713 × 6371000     		du = 141.158148770479m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.09022648)-sin(-1.09024864))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.462284551752258-0.462264901665713)×R²
    abs(-0.96468217--0.96473010)×1.9650086544698e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.9650086544698e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.9650086544698e-05×40589641000000     		ar = 19929.3229908664m²