Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 45410 / 95266
↖ ↑ ↗
← S 62.957720°
W 55.277710°		 ← 138.86 m → S 62.957720°
W 55.274963°		 →
↑
138.89 m
↓
↑
138.89 m
↓
S 62.958969°
W 55.277710°		 ← 138.86 m →
19 286 m²		 S 62.958969°
W 55.274963°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 45410 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 95266 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.346454620361328 y=0.726825714111328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.346454620361328 × 217)
    floor (0.346454620361328 × 131072)
    floor (45410.5)     		tx = 45410
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.726825714111328 × 217)
    floor (0.726825714111328 × 131072)
    floor (95266.5)     		ty = 95266
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 45410 / 95266 ti = "17/45410/95266"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/45410/95266.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 45410 ÷ 217
    45410 ÷ 131072     		x = 0.346450805664062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 95266 ÷ 217
    95266 ÷ 131072     		y = 0.726821899414062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.346450805664062 × 2 - 1) × π
    -0.307098388671875 × 3.1415926535     		Λ = -0.96477804
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.726821899414062 × 2 - 1) × π
    -0.453643798828125 × 3.1415926535     		Φ = -1.42516402570427
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.96477804} λ = -0.96477804}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.42516402570427))-π/2
    2×atan(0.240469016873476)-π/2
    2×0.235988406334473-π/2
    0.471976812668946-1.57079632675     		φ = -1.09881951
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.96477804} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -55.277710°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.09881951 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -62.957720°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 45410 KachelY 95266 -0.96477804 -1.09881951 -55.277710 -62.957720
    Oben rechts KachelX + 1 45411 KachelY 95266 -0.96473010 -1.09881951 -55.274963 -62.957720
    Unten links KachelX 45410 KachelY + 1 95267 -0.96477804 -1.09884131 -55.277710 -62.958969
    Unten rechts KachelX + 1 45411 KachelY + 1 95267 -0.96473010 -1.09884131 -55.274963 -62.958969
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.09881951--1.09884131) × R
    2.18000000000718e-05 × 6371000     		dl = 138.887800000457m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.09881951--1.09884131) × R
    2.18000000000718e-05 × 6371000     		dr = 138.887800000457m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.96477804--0.96473010) × cos(-1.09881951) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.454647866501798 × 6371000     		do = 138.861161065642m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.96477804--0.96473010) × cos(-1.09884131) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.454628449760004 × 6371000     		du = 138.855230692911m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.09881951)-sin(-1.09884131))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.454647866501798-0.454628449760004)×R²
    abs(-0.96473010--0.96477804)×1.94167417948421e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.94167417948421e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.94167417948421e-05×40589641000000     		ar = 19285.7093384546m²