Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 4541 / 12819
↖ ↑ ↗
← S 70.750723°
W 80.222168°		 ← 805.48 m → S 70.750723°
W 80.200195°		 →
↑
805.36 m
↓
↑
805.36 m
↓
S 70.757966°
W 80.222168°		 ← 805.18 m →
648 579 m²		 S 70.757966°
W 80.200195°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4541 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12819 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.277191162109375 y=0.782440185546875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.277191162109375 × 214)
    floor (0.277191162109375 × 16384)
    floor (4541.5)     		tx = 4541
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.782440185546875 × 214)
    floor (0.782440185546875 × 16384)
    floor (12819.5)     		ty = 12819
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 4541 / 12819 ti = "14/4541/12819"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/4541/12819.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4541 ÷ 214
    4541 ÷ 16384     		x = 0.27716064453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12819 ÷ 214
    12819 ÷ 16384     		y = 0.78240966796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.27716064453125 × 2 - 1) × π
    -0.4456787109375 × 3.1415926535     		Λ = -1.40014096
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.78240966796875 × 2 - 1) × π
    -0.5648193359375 × 3.1415926535     		Φ = -1.774432276336
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.40014096} λ = -1.40014096}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.774432276336))-π/2
    2×atan(0.169579696582696)-π/2
    2×0.167981630970289-π/2
    0.335963261940577-1.57079632675     		φ = -1.23483306
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.40014096} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -80.222168°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.23483306 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.750723°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4541 KachelY 12819 -1.40014096 -1.23483306 -80.222168 -70.750723
    Oben rechts KachelX + 1 4542 KachelY 12819 -1.39975747 -1.23483306 -80.200195 -70.750723
    Unten links KachelX 4541 KachelY + 1 12820 -1.40014096 -1.23495947 -80.222168 -70.757966
    Unten rechts KachelX + 1 4542 KachelY + 1 12820 -1.39975747 -1.23495947 -80.200195 -70.757966
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.23483306--1.23495947) × R
    0.000126410000000021 × 6371000     		dl = 805.358110000135m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.23483306--1.23495947) × R
    0.000126410000000021 × 6371000     		dr = 805.358110000135m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.40014096--1.39975747) × cos(-1.23483306) × R
    0.000383490000000153 × 0.329678736295608 × 6371000     		do = 805.475964466261m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.40014096--1.39975747) × cos(-1.23495947) × R
    0.000383490000000153 × 0.329559390843107 × 6371000     		du = 805.18437789159m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.23483306)-sin(-1.23495947))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.329678736295608-0.329559390843107)×R²
    abs(-1.39975747--1.40014096)×0.000119345452501696×R²
    0.000383490000000153×0.000119345452501696×6371000²
    0.000383490000000153×0.000119345452501696×40589641000000     		ar = 648579.185450098m²